Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
На первом шаге построим основное кинетическое уравнение, описывающее воздействие случайных столкновений. Разобьем координатное пространство на ячейки А', пометив их числами к', р' и т. д.. а импульсное пространство — на ячейки А" с лотками к", р", . ... Тем самым мы разбили одночастичное фазовое пространство на ячейки \ VA" с метками /. ().', /."). Пусть побозначает число молекул в ячейке к и Я({п}, і)—совместное распределение вероятности всех чисел заполнения. Столкновение переводит две молекулы из ячеек р, ст в ячейки к, р, где, конечно, р' = а' = к' — р'.
Выбранная нами гипотеза о столкновительном члене означает,, что вероятность таких столкновений, отнесенная к единице времени, есть w>Mp0npn0. Тогда основное кинетическое уравнение имеет вид*1*
р({п\, /)-= 2 aw(E^1Ep1EpEa-1)ЯрЛ„Л (12.5.2>
* A. A. Abrikosov and I. М. Kbalatnikov1 Sov. Phys. JETP 34, 135 (1958): М. Bixon and R. Zwanzig, Phys. Rev. 187, 267 (1969); R. F. Fox and G. E, Uhlen-beck, Phvs.. Fluids 13. 1893 and 2881 (1970).
** A. J. F. Siegert, Phys. Pev. 76, 1708 (1949); H. K- Janssen. Z. Phvs. 258, 243 H 973). /
¦325 Чтобы найти связь между wX?Pa и р21 р3, р4), из (12.5.2) вы-
делим макроскопическое уравнение
"а= 2 (ба>. + бац — бар — баа) rtprta =
Хцрсг
= 2 2 йУацраПр«а—2/га2 Щ.\хш,П0.
црст Я.ца
С другой стороны, первый член в столкновительной части уравнения Больцмана можно записать в виде
S и- (P1, р21 рз, р4) б (г, — г2) б (rj — г3) б (гх — r4) X
X / (г„ Рз) / (Г4, р4) dr2 dp2 dr3 dp3 dr4 dp4.
Поскольку /г==/Л'А", можно сравнить оба первых члена; с помощью (12.2.6) находим:
о і. , і , 8X'u' 8Vp' 8Х'ст' 2wl?Pa = A2W (р/.~, p^ipp", Po-) -^r- —fi--— ¦
Второй шаг состоит в разложении основного кинетического уравнения по параметру* А~'Ч Как обычно, полагаем п%.= Acpx + A тогда наибольшие члены дает макроскопическое уравнение
фа = А 2 ^цра(баХ + ба(1 —бар —баа)фрфо, (12.5.3)
Хдра
которое является нелинейным уравнением Больцмана. Удобно ввести следующие обозначения:
(баЯ + <W — ба(1 — бар — 6a<J) = W {<* \ КЩЮ).
В следующем порядке по параметру А-1/« для распределения П ({?;.}, t) получаем линейное уравнение Фоккера — Планка в случае многих переменных:
дП г,* V ( д д . д , д \ * TX .
+ A JI «WPP<P« (¦- ¦-+ Щ + Wa J П¦ <l:2"5'4>
Отсюда для первых моментов получаем
䥲а,= '2А 2 W (а. I Хрро) Cfp . (12.5.5)
Это уравнение Больцмана (12.5.3), линеаризованное вблизи макроскопического решения ф. Отсюда видно, что среднее </za> == Acpa +
* N. G. van Karapen, Phys. Letters 50A, 237 (1974); J. Logan and M. Kac, Phys. Rev. A13, 458 (1976); M. Kac and J. Logan in: Studies in Statistical Mechanics VII. Fluctuation Phenomena (E. W. Montroll and J. L. Lebowitz eds., North-Holland, Amsterdam, 1979).
¦326 + A1I2 <|а) удовлетворяет нелинейному уравнению Больцмана не только в приближении, соответствующем параметру А, но и А1/2. Для вторых моментов из (12.5.4) получаем
dt <W?> = ЗА 2 W (а I Аира) ФР <U?> +
+ 2А У] W (? I Afipa) <pp <ga|CT> + 2A 2 W (a | /діра) ФрФ(Т (6^ - O?p) +
+ 2A V W (? I кщ>о) фрфа (баЯ-бар).
Последние две строки содержат много членов, но их можно упростить, если ввести факториальные кумулянты:
[пап&I = A «|a|?» 4- 6a? Афа. После достаточно длинных вычислений приходим к выражению dt [п„пц] 2А 2 w (a I /-MPct) Фр ~ 2А 2 w (? I /-Wjct) Фр ["a"a] +
/-Про k?po
+ 2A2 2 (^аррстфрфст — ^роарфафр)• (1 2.5.6)
P0
На третьем шаге запишем эти уравнения в непрерывных обозначениях. Каждый индекс заменяется шестью параметрами г, р, тогда
^iwo — A2^ (рь р21 р„ р4) б (rt — г2) б (гх — г3) б (Гі — г4), W (а I Я.црст) А3ьу (р,, р21 Рз, P4) б (г0 — гх) б (r„ — г2) 6 (r0 — r3) х
X 6 (г0 — г4) X {6 (р0—P1) + 6 (Po — р2) — б (р0 — рз) — б (р0 — р4)},
теперь (12.5.3) совместно с (12.5.5) дает
dt<u{Ti, P1)) = 2 J W (р„ р21 рз, р4)<"(г1, p,)Xu(r„ p4)>dp2dp3dp4—
— 2 I ш(р3 р41 P1, p2)<u(r1, P1)) <ц(гь p2)> dp2 dp3 dp4. (12.5.7)
На последнем четвертом шаге дополним правую часть потоковыми членами, включая внешнюю силу F (г), а именно
-W-W<U{T' P)>-F (г, Р)>. (12.5.8)
Таким образом, мы получили полное уравнение Больцмана для величины <и(г, р)>. Аналогично, из (12.5.6) получаем
df["(ri. Pi) u(r2, р2)] =
= 4 JaJtp1, р41 р5, р,)<и(гг, p5>[w(r1, p6)u(r2, p2)]dp4dp5dp6 —
— 2 J w (рз, р41 рь р6) <u (ra, P1)) [и (rlt рв) и (r2, р2)] dp3 dp4 dp6 —
— 2$ьу(р3, р41P61 pt) < и (T1, р5);> dp3 dp4 dpB [и (гь p,)u(rlt р2)] + + 4$ьу(р2, р4 j р5, pe)<u(r8, р,)>[и(гь Pi) "(r2, P6)] dp4 dp8 dp, —
¦327 — 2 5 w (p„ P41 P5, р„) <u (r2, p2)> [и (rlt P1) и (r2, pe)] dpa dp4 dp„ —
— 2 S Bu (p„ P4) I Pb, Pi)<«(rb p6)> dp3 dp4 dp5 [u (rt, P1Mr2, p2)] + Ч-2б(г!— r2) 5 ic(Pi, p2|p3, p4)<«(r„ p3)><w(rb p4)>dp3dp4 —
— 26 04 —r2) (p3, P4IP1, p2) dp3 dp4x <u (rb Px)> <u (rx, p2)> +
I Pi д p2 . д _ , . д „ . . dl
+---— ^ -5--— < T--F (rj X -з--F (r2 X -з— А
1I т дГі т dr2 v 17 ^p1 v и дрг j
< Hr1, Pl)u(r2, P2)]. (12.5.9)
Это уравнение определяет (в приближении линейного шума) флуктуации относительно решения уравнения Больцмана <и(г, р)>.
