Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Докажите, что все решения (11.9.4) приближаются к стационарному решению.
Упражнение. Введите полярные координаты в (?", ?")-плоскости, полагая E — se<f, и преобразуйте (11.9.4) к виду
Упражнение. Из (11.9.5) выведите детерминистическое уравнение для s. Согласуется ли оно с уравнением, выведенным выше? Это пример трудностей, возникающих при бездумном использовании уравнений Ланжевена (см. § 8.9).
Нелинейное уравнение Фоккера — Планка (11.9.4) или (11.9.5) содержит всю информацию относительно одночастотного лазера и флуктуаций в рамках настоящей модели. К сожалению, его нельзя решить явно, но можно сделать некоторые выводы, изучая различные предельные случаи. При этом, однако, следует помнить, что настоящая модель не была выведена как систематическое приближение для настоящих уравнений движения, описывающих лазер, и поэтому некоторые детали могут оказаться неточными.
Флуктуации не связаны с тепловым движением, а вызываются случайным характером процесса излучения. Поэтому температура не подходит в качестве параметра разложения в отличие от случая, рассмотренного в § 10.5. Тогда, чтобы получить детерминистическое уравнение, положим Г = 0 и будем считать, что Г может изменяться независимо от а, Ь, с. Детерминистическое уравнение, которое мы получим в результате, будет таким же, как и полученное из (11.9.2) при L = O:
i = 2(a —с) s—2fc2 = — (11.9.6)
V(s) = — (а—с) s2 + -j os3. (11.9.7)
Это уравнение описывает движение заторможенной частицы в потенциале V (рис. 40).
Мы видим, что имеется одно стационарное состояние ниже порога накачки, которое становится неустойчивым выше порога, когда появляется другое устойчивое состояние, а именно s = = (a—с)lb, согласно (11.9.3).
310- Теперь возьмем Г > 0. Стационарное решение (11.9.5) можно найти явно:
Z3s(S) = ConSt-Cxp j(a—c)s—у
bs2
(11.9.8)
ff<C
а> с
Рис. 40. Схематический вид потенциала (11.9.7)
При а<с его максимум расположен при s = 0. Значения Ps(O) являются устойчивым стационарным решением (11.9.1) и (11.9.6.) При а > с его максимум расположен при d = (a—c)/b*. На самом деле Ps представляет собой распределение в (?", ?")-плоскоети, которое оказывается независимым от угла ф. Его максимум является горным кольцом, имеющим вид кратера, что означает, что фаза полностью не определена.
Скорость, с которой S приближается к d, можно найти из (11.9.6),
она приблизительно равна т:'«2(а—с). Время, необходимое для того чтобы решение ф распространилось по всему горному хребту, приблизительно равно тф — л-(2d/F). При малых Г это время значительно превосходит Tsi тогда поле E сначала достигает своей стационарной амплитуды, а затем уже фаза решения распространяется по всему горному хребту. Эта неопределенность фазы увеличивает ширину линии испускаемого излучения лазера (ср. с (8.3.12)):
А со--L (11.9.9)
тф I ? I2 v
Хотя в этом случае предельный цикл отсутствует, распространение фазы во многом сходно с процессом, описанным в предыдущем параграфе.
Упражнение. Почему свободная энергия в (11.9.8) не является той же самой
функцией, что и потенциал V (11.9.7)? (Ср. с § 10.5.) Упражнение. В стационарном распределении (11.9.8) среднее <s> отличается от наиболее вероятного значения d на очень малую величину порядка Г1'2ехр[—IfdiJT]. Но средняя амплитуда меньше, чем Vd, на величину [17(166)] d- Сравните это с дискуссией по поводу парадокса Бриллюэна в § 8.9.
Упражнение. В области намного ниже порога можно пренебречь нелинейными членами в (11.9.2) и (11.9.4). В этом случае E является процессом Орнштейна —Уленбека
<Е WW =W=S)'
>-(с-а) I I
* Это то же самое d, которое использовал Рискии в цитированной выше работе. Его Ц7, г, ?, q, а соответствуют нашим Р, J^s , Ь, Г/4, 2 (с—а)/У ЬГ соответственно. См. также более позднюю работу: Н. Risken and Н. D. Vollmer, Z, Phys. В39, 89 (1980).
ЗП при условии, что с — а > V ьг. Автокорреляция напряженности дается квадратом этого выражения:
«I E (/,) I« I E (I2) |*»ж = 4(с^а)2 е- 2 I-'«I.
Упражнение. В области намного выше порога (а—с > У ЬГ), для того чтобы приближенно описать флуктуации относительно стационарного решения для лазера, уравнение (11.9.5) можно линеаризовать, полагая s = d + a:
Покажите, что в этом случае
<? U1) ?*(*,)>* =e-fr/(4d)l I I Ь__- (1 _е-»м1 О і
\ Sbd J
«I ? (Z1) I2 I ? (Z2) j2»* = JL е"гМ » I.
Проверьте оценку (11.9.9). Упражнение. В одночастотном лазере для числа фотонов п можно вывести основное кинетическое уравнение:
p„ = (E-i-l)jqi^±JLj p„ + C(E-l)np„. (11.9.11)
Если пренебречь рассуждениями гл. 9 и использовать некоторые упрощения, это уравнение можно заменить на
Покажите, что в этом случае результаты выше и ниже порога аналогичны найденным выше, но теперь Г может иметь два различных значения. Упражнение. Если Q — размер лазера, то коэффициент в (11.9.11) оказывается пропорциональным I/O. Получите те же самые результаты, что и в предыдущем упражнении, но только систематическим образом с помощью . Q—разложения.
