Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим электромагнитное поле в среде, состоящей из двухуровневых атомов, которые вследствие внешнего воздействия переводятся в возбужденное состояние, или, как говорят в таких случаях, накачиваются. Будем исходить из классических уравнений для поля E в среде с плотностью поляризации Р. Это позволит учесть фазовые соотношения между атомами и полями. В некотором приближении для комплексной амплитуды Ea каждой моды** имеем
я р р
wf-b> — 2 <¦»¦
Если бы атомы были гармоническими осцилляторами, то Pa было бы пропорционально Ea, как в теории Максвелла—Лоренца. Однако, для двухуровневых атомов это соотношение нелинейно:
Здесь Ег — полное поле, но мы пока ограничимся рассмотрением единственной моды, так что Е^ = \Еа\г. Тогда получим уравнение движения для единственной неизвестной величины Ea:
dtEa = aaEa-ba\Ea\*Ea. (11.9.1)
В общем случае аа — комплексная величина,, но если ш попадает в резонанс с расстоянием между уровнями, она действительна. Мы ограничимся этим случаем и поэтому опустим индекс ш. Тогда- а пропорциональна скорости накачки, а коэффициент Ь является положительной постоянной величиной***.
До сих пор вывод из микроскопических уравнений был достаточно прямолинейным. Однако теперь следует учесть, что имеются потери вследствие утечки излучения через концевые зеркала, а также вследствие спонтанного излучения атомов в другие моды. Кроме того, существует шум, обусловленный случайностью излучения. Эти эффекты в данном случае учитывают, добавляя член,
* М. Lax in: Statistical Physics. Phase Transitions and Superfluids (1966 Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics; M. Chretien, E. P. Gross and S. Deser eds., Gordon and Breach, New York, 1968); H. Haken in: EncyclopaediaofPhysics 25/2c (Springer, Berlin, 1970); M. Sargent, M. O. Scully and W. E. Lamb, LaserPhysics (Addison-Wesley, Reading, Mass., 1974); H. Haken, Synergetics (Springer, Berlin, 1976 and 1978).
** Sargent, Scully and Lamb. loc. cit., p. 100, equation (11).
*** В присутствии поглотителя b может стать отрицательным в соответствии с результатами работы: М. Sargent and С. Cantrell, Optics Comm. 15, 13 (1975).
308- описывающий затухание, и случайную силу:
dtE = (а—с) ? — ЪIE |2 E + L (і). (11.9.2)
Здесь L(t) — комплексный процесс Ланжевена:
<L(0> = 0, <L(t)L(t')> = О, <L(t)L(t')*> = n(t-t').
Следует подчеркнуть, что этот способ подключения флуктуаций, хотя является удобным и позволяет заменить точное описание источников шума (ср. с § 8.8), не имеет серьезного обоснования. Такой подход может дать качественное понимание влияния шума на уравнения, описывающие лазер, но не позволяет списать его настоящего механизма. Например, флуктуации в накачке должны привести к случайности в коэффициенте а, но не описываются аддитивным членом. Однако, поскольку уравнение (11.9.2) широко изучено, оно с успехом может служить примером стохастического процесса *.
В приближении детерминированного процесса, полученном пренебрежением L (/), можно показать, что при а <с (скорость накачки меньше потерь) поле стремится к нулю. В стационарном состоянии имеется только поле, вызванное флуктуирующим членом. При больших скоростях накачки (а > с) поле возрастает до стационарного значения
| ? |2 = ¦ (11.9.3)
Это решение устойчиво относительно амплитуды: любые малые отклонения от (11.9.3) экспоненциально малы. Однако оно не может быть глобально устойчивым, потому что имеется другое стационарное, хотя и неустойчивое решение, а именно ? = 0. Однако (11.9.3) неустойчиво по отношению к фазе (см. упражнение ниже).
Согласно § 8.8, для (11.9.2) можно записать уравнения Фоккера— Планка. Поскольку (11.9.2) на самом деле является системой двух уравнений для действительной и мнимой частей E', Е" поля Е, мы получили уравнение для распределения вероятности, зависящего от P (?', Е", t)dE'dE". Однако P (?', Е", t) удобнее записать как функцию, зависящую от Е, Е*. Но это та же самая плотность вероятности в плоскости ?', ?", хотя часто пишут dE dE* для dE'dE". Тогда уравнение Фоккера1—Планка, соответствующее (11.9.3), имеет вид**
__+ (11.9.4)
* Более сложное рассмотрение дается в работе: К. Heep and Е. Н. Lieb, Annals Phys. 76, 360 (1973); см. также: P. A. Martin, Modeles en mecanique statistique des processus irreversibles (lecture Notes in Physics 103; Springer, Berlin, 1979). Ch. IV.
** H. Risken, Z. Phys. 186, 85 (1965) and 191, 302 (1966).
309- Упражнение. Тот факт, что при а > с напряженность поля принимает конечное значение (11.9.3), называют насыщением. Почему в линейных уравнениях насыщение невозможно? Упражнение. Выведите из (11.9.2) детерминистическое уравнение для напряженности поля S = I E I2 и покажите, что для а <с стационарное решение s = 0 глобально устойчиво. Для а > с это решение неустойчиво, но тогда (11.9.3) локально устойчиво. Упражнение. Выведите (11.9.4), показав, что первые два момента распределения согласуются с полученными из (11.9.2). Упражнение. Найдите стационарное решение уравнения (11.9.4). Почему нельзя найти Г с помощью одной из разновидностей флуктуационно-диссипатив-ной теоремы?
