Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим решение основного кинетического уравнения, которое при / = O представляет собой дельта-пик, расположенный в некоторой точке (ф0, г|50) на макроскопическом предельном цикле. Форма распределения вероятности (в приближении линейного шума) описывается уравнением
anV' ° = (-2фЧ> + Р+1)^6П-Ф^тіП +
+ ( ? + 2ф\(}) ^j- Ш -t~ ф2 ^ т]П -(-
і д + фд*П , рф + ф2ф ( д _ д \2
где (ф, г|5 — зависящее от времени периодическое решение с начальными значениями ф0, i|v Члены в последней строке определяют тенденцию к уширению П. Если бы уравнения (11.8.3) были асимптотически устойчивы, эта тенденция сдерживалась бы первыми производными, потому что асимптотическая устойчивость означает, что все отклонения стремятся к нулю. В этом случае флуктуации оставались бы малыми, как в § 9.5. В случае же предельного цикла, с которым мы сейчас столкнулись, это сдерживание будет работать только против флуктуаций, перпендикулярных ему, поскольку все макроскопические решения возвращаются на предельный цикл.
Однако флуктуация в направлении вдоль предельного цикла .не имеет тенденции к возвращению. Она только меняет фазу, а система не обладает противодействующим механизмом, который возвращал бы фазу к начальному значению. Следующая флуктуация может уменьшить это отклонение, но с таким же успехом может и увеличить его. В результате П расширяется в направлении предельного цикла, так же как расширяется плотность вероятности броуновской частицы в одномерном случае. Следовательно, ширина вдоль предельного цикла возрастает пропорционально V t.
В результате этого приближение линейного шума и даже само й разложение нарушаются при t ~ й. Теперь интуиция подсказывает нам дальнейший ход событий. Плотность вероятности будет продолжать расширяться, пока не покроет весь предельный цикл, в то же время она останется узкой в перпендикулярном направлении. Получившееся в результате распределение P (п, т, oo) = Ps(n, т) будет иметь вид кратера с горным хребтом на месте макроскопического
* R. Lefever and G. Nicoiis, J. Theor. Biol. ЗО, 267 (1971);
** К. Tomita, Т. Ohta and H. Tomita, Prog. Theor. Phys. 52, 1744 (1974); [8].
306- предельного цикла. Это означает полную потерю информации о начальной фазе. В генераторах частот этот фазовый сдвиг приводит к уширению диапазона генерируемых частот. Все это следует из отсутствия асимптотической устойчивости для возмущений, параллельных предельному циклу.
Упражнение. Проверьте вышеупомянутую оценку t~Q для времени, по прошествии которого флуктуации перестают быть малыми. Упражнение. Найдите стационарное решение (11.8.3) и покажите, что оно неустойчиво, когда ? > а2+1. Упражнение. Докажите, что внутри предельного цикла должна быть устойчивая стационарная точка. Упражнение. Возьмем в (11.8.3) частные значения ос—1, ?=3. Докажите, что имеется предельный цикл. Для доказательства воспользуйтесь следующим методом *. Имеется одно неустойчивое стационарное решение. Оно окружено контуром, через который все решения попадают во внутреннюю область. Этот контур образован осью и прямыми i/ = 5,84-f-x, 1/=7,84—х. Упражнение. Из (11.8.4) найдите <|2>, <?я>, <т|2>. Они удовлетворяют (8.6.6). Как отражается на уравнении тот факт, что моменты не ограничены?
11.9. ЛАЗЕР КАК ДИФФУЗИОННАЯ СИСТЕМА
Квантовая механика играет важную роль в микроскопическом описании большинства физических систем. При мезоскопическом описании мы также много раз обращались к ней. В большинстве случаев квантовая механика была нужна для определения множества состояний. В качестве примера можно указать теорию одномолеку-лярных реакций, обсуждавшихся в § 7.5, или лазеры из § 6.4. Кроме того, квантовая механика оказывается полезной, если мы интересуемся истинными значениями вероятностей перехода (например, гармонический осциллятор из § 6.4).
Квантовая механика оказывается на вторых ролях в связи с тем, что мезоскопическое описание является огрубленным. Каждое мезо-скопическое состояние состоит из такого большого количества кван-тово-механических состояний, что перекрестные корреляции между амплитудами вероятностей этих состояний разрушаются и остаются только сами вероятности. Естественно, это оказывается правильным только в специфическом представлении. До сих пор правильное представление, в котором перекрестные корреляции являются действительно пренебрежимыми, было довольно очевидным и выбиралось неявно. В упомянутых примерах эти представления определялись числом фотонов, колебательными состояниями молекулы или гармонического осциллятора.
Теория лазеров не является исключением из общей схемы, но выбор соответствующего представления требует более тонкого подхода. Нельзя описывать лазер как полость, содержащую фотоны, которые испускаются и поглощаются с определенной вероятностью. Акты испускания и поглощения фотонов не являются случайными событиями, потому что нельзя пренебречь фазовыми соотношениями
* J. J. Tyson, loc. cit.
307- с полем. Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти такое представление, в котором фазовыми корреляциями между квантово-механическими состояниями можно пренебречь. Это представление может служить основой для мезоскопического описания. Подробное рассмотрение этого вопроса выходит за пределы данной книги, и поэтому мы просто воспроизведем окончательный вид стохастического уравнения *, известный из литературы.
