Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 127

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 159 >> Следующая


(Ф„, ф„) = o„, „ («, m = 0, 1, 2, ...).

Решение уравнения (11.6.1) имеет вид

GO

Р(х, t\x0, o)=P'W + I^g«>,We-4 (11.6.10)

* Такие потенциалы изучались в связи с переходами спираль — клубок в гетерополимерах: De Gennes P. G., J. Statist. Phys. 12, 463 (1975).

298- Эти утверждения справедливы для любого U (х), достаточно быстро стремящегося к бесконечности при IX I —OO.

Для симметричного бистабильного потенциала U, изображенного на рис. 38, из квантовой механики хорошо известна следующая дополнительная информация. Основное состояние Ф0 симметрично, имеет два горба вблизи а и с, очень близко к нулю в Ь. Следующая собственная функция CD1 антисимметрична, равна нулю в точке Ь, имеет практически те же самые горбы, что и Ф0, но только один из них с отрицательным знаком, скажем, горб вблизи а. Ее собственное значение X1 очень близко к основному уровню X0 = O. Вторая собственная функция Ф2 симметрична и имеет два нуля; X2 много больше, чем X1. Следовательно, для t ї>> X1T1 точная формула (11.6.10) приближенно может быть записана в виде

Из этой формулы, во-первых, следует, что

QO

n+(x0) = jP(x, t\x0, 0)dx = -i + |^y.

b

я во-вторых, что tat = IZX1. К сожалению, имеется несколько усложнений в связи с тем, что (11.6.9) немного отличается от уравнения Шредингера. Его можно преобразовать в него, полагая, как в (8.7.15), что

ф (х) = ф (х) ехр [— U (х)/(26)]. Тогда (11.6.9) превращается в

+ V(x)}.p = 0,

V(X)=-L (*!Ly_\_vu_ w 40 V dx J 2 dx2 '

Отсюда видно, что связь между .U и потенциалом V в уравнении Шредингера не является простой, в частности оказывается, что бистабильный U может привести к потенциалу V с тремя минимумами. Утверждения относительно собственных значений остаются в силе, однако не столь очевидны, как это предполагалось выше. Тем не менее таким путем можно получить явные значения для Х+ (х0) и для хас. Несимметричные потенциалы также можно исследовать с помощью разложения по собственным функциям *.

* Н. Tomita, A. Ito and Н. Kidachi, Prog. Theor. Phys. 56, 786 (1976); К- Matsuo1 J. Statist. Phys. 16, 169 (1977); R. S. Larson and М. D. Kostin, J. Chem. Phys. 69, 4821 (1978); В. Caroli, С. Caroli and В. Roulet, J. Statist. Phys. 21, 415 (1979).

299- Упражнение. Покажите, что спектр собственных значений для уравнения (11.6.9) действительно является дискретным, если Ux ~ I * Iа при —> 00, где а > 1.

Упражнение. Обоснуйте утверждение, что Tat=IAi.

Упражнение. Потенциал U (х) = — -І- ах2+-^- Xі является бнстабнльным, когда

а > 0. Покажите, что соответствующий потенциал V (х) также бистабилен, когда а2 < 60, но имеет три минимума, когда а2 > 60. Упражнение. Время, за которое частица достигает точки с, стартуя из х9, предлагалось в качестве соответствующего параметра для изучения диффузии в бистабильном потенциале *. Покажите, что его среднее значение и дисперсию можно найти точно, выразив их через интегралы от Ps.

11.7. ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Вычисления, проделанные в предыдущем параграфе, и даже сами определения времени перехода и вероятности разделения предполагают, что высота потенциального барьера достаточно велика, так что Ps очень мала в неустойчивой точке. Точнее, время перехода Tfa должно быть значительно больше времени, необходимого для установления локального равновесия в каждой отдельной яме. Так ли это в действительности, зависит от функции U и от значения 0. Для любого фиксированного бистабильного U этого можно добиться всегда, выбирая малое 0. Однако а этом пределе возможны и дру-тие упрощения.

Рассмотрим выражение (11.6.7) для тса. Оно представляет собой интеграл от положительной функции с пиком при х = Ь, который становится очень острым при малых 0. В окрестности этого пика имеем

PS=-Le-O we = 1 ехр [ _ jm + Ii5^ с нормирующим множителем

ж

Z= 5 e-"('W«dx. (11.7.1)

- QO

Тогда для (11.6.7) получаем

Tee = -^-Zefwe уЛТ7^-{1 + О(0)}. (11.7.2)

Подынтегральное выражение в (11.7.1) имеет два пика в точках а и с; следовательно,

Z = e-"<«>/e У 1М: + е-^>/е Y-^L. (11.7.3)

Если U (с) > U (а), второй член экспоненциально мал по сравнению с первым и по сравнению с поправками, имеющими относительный порядок 0. Этими поправками мы пренебрегли в первом

* F. Т. Arecchi and A. Politi, Phys. Letters 77А, 312 (1980).

300- члене. Значит, »удерживая оба члена, мы нарушаем условие совместности, если только U (а) не равно U (с). Поэтому мы предположим, что выполняется условие U (a) = U (с), и для удобства возьмем симметричную функцию U(x), чтобы оба члена в (11.7.3) оказались равными, тогда (11.7.2) дает

т 2л ртпГ^)-"^! (117 4)

са VU'(a)\U"(b)\ I 6 J

Мы видим, что получился множитель Аррениуса, но множитель, стоящий перед ним, также получен явно и выражается через потенциал.

Аналогичные приближения можно применить к (11.6.6) и в результате получить

".W-4- V™] «хр 1-ал^т] d, (и.7.5)

Если IX01 мало, то это сводится к

.Jf0

г г

dx =

1I га 1 - ' ¦ -

ь

Xa(Xo)=Y-V iiSr1I ехр[—|t/'(ft) | (*-&)»
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed