Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ё = — 2уЕ.
Найдите уравнения Ланжевена, которые правильно описывают флуктуации в интерпретациях Стратоновича и Ито соответственно. Упражнение. Покажите, что парадокс Бриллюэна остается в силе, если использовать приближение Фоккера — Планка.
* L. Brillouin, Phys. Rev., 78, 627 (1950).
** С. Т. J. Alkemade, Physica 24, 1029 (1958).
*** А. Marek, Phvsica, 25, 1358 (1959).
**** R. McFee, Amer. J. Phys., 39, 814 (1971).
***** Именно эта модель точно решена в работе: J. Mathem, Phys., 2, 592 (1961).
232- Упражнение. Опишите радиоактивный распад уравнением Ланжевена
h = —n + C(n)L(t). (8.9.5)
Покажите, что правильные значения среднего и дисперсии можно получить, полагая Г {С (л)}2= л и придерживаясь интерпретации Ито. Покажите также, что высшие моменты получаются йеправильными. Упражнение. Запишите (8.9.5) в виде n + /i = /(Z), тем самым определив стохастический процесс /. Используя результаты параграфа § 4.6 можно найти свойства процесса f. Из формулы
t
n(t) — n0e~t ^ e''f(f) dt' о
получаем немедленно <7(Z)> = 0, что после возведения в квадрат дает
</(<і) /('2)> = "оє-'.6(^-/2).
Если 0 — ступенчатая функция Хевисайда, покажите, что
<f Cl) f Сі) І Ca» = - Пре-4'« Сі —'») б (<і-/3) + ЛоЄ-(.б (Z1-Z2) Є (Z1-Z3) -f-
+ rt0e-<,б (Z1-Z3) Є (Z1-Z2)-t-n0e-f»6 (Z2-Z3) Є (Z3-Z1).
Каким образом можно догадаться а priori, что / не может быть гауссовым процессом?
ГЛАВА 9
РАЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Для основных кинетических уравнений, которые нельзя решить точно, вместо интуитивных приближений Фоккера — Планка и Ланжевена необходимо иметь систематический приближенный метод. Такой метод—степенное разложение по параметру Q—мы рассмотрим в этой главе. Этот метод позволяет также понять, каким образом макроскопическое уравнение получается из стохастического описания в терминах основного кинетического уравнения.
9.1. ВВОДНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
Основное кинетическое уравнение удается решить явно только в исключительных случаях. Например, мы видели, что одношаговое кинетическое уравнение можно решить тогда, когда вероятности шагов гп и gn постоянны или линейны по п, в других же случаях получить решение не удается. Поэтому очень важными оказываются приближенные методы, наиболее хорошо известным из которых является приближение Фоккера-—Планка. В литературе предлагались многие другие методы, которые в основном содержали рецепты, предназначенные для частного рассматриваемого случая и касающиеся обрезания высших моментов по флуктуациям. Эти методы зачастую в большей степени определялись не общей логикой, а потребностями и вкусами автора. В результате они приводили к ненадежным и противоречивым результатам, упомянутым в § 8.1. Однако все они
233- имели общее положение, смысл которого состоит в том, что флуктуации малы.
Такую ситуацию можно исправить только с помощью систематического приближенного метода в виде разложения по степеням малого параметра. Только в этом случае мы получим объективную меру значимости нескольких членов. Поэтому нашей первой задачей является выбор подходящего параметра разложения. Таким параметром должен быть какой-либо параметр, встречающийся в основном кинетическом уравнении, т. е. содержащийся в вероятности W перехода. Далее, этот параметр должен отвечать за значение флуктуаций и, следовательно, за значение скачков. Обозначим этот параметр Q и выберем его таким образом, что при больших Q скачки сравнительно малы. Во многих случаях Q—это просто размер системы.
Перед тем как формулировать метод разложения, его полезно сначала продемонстрировать на простом примере. Рассмотрим объем Q, в котором происходит следующая химическая реакция:
A-^Xt 2Х-ІВ. (9.1.1)
Концентрация сри молекул А опять берется константой и считается настолько большой, что обратной реакцией можно пренебречь. Иначе говоря, можно представить себе, что А постоянно пополняется, а В расходуется. Поэтому схема реакции (9.1.1) описывает открытую систему (см. § 7.4). Уравнение, характеризующее скорость химической реакции для концентрации гр вещества X, записывают в виде
y = kq>A — 2k'(f\ (9.1.2)
Рассмотрим теперь реакцию мезоскопически. Основное кинетическое уравнение, согласно (7.2.4), запишем-в виде
рп = k<pAQ (Е-1 - 1) рп + (k'/Q) (Е2 — \)п (п— I) Pn- (9.1.3)
Это уравнение нелинейно и его нельзя решить явно методами § 6.6, поэтому мы получим приближенное решение для больших й. Отметим, что степени Q в коэффициентах записаны явно с тем, чтобы константы kq>A и k' не зависели от Q. Для удобства выберем единицы, в которых /г'= V2 и k(pA—l:
Лі = ^ (Е-1 О Pn + (2Й)-1 (E2— \)п(п рп- (9.1.4)
Можно ожидать, что рп будет иметь острый максимум вблизи макроскопического значения п — Q<p(/), заданного (9.1.2), с шириной порядка п1'2 ~ Q1/2.
С учетом этой догадки полагаем
/г = Йф(0 + Й1/21, (9.1.5)
где ф(/)—решение уравнения (9.1.2), а ?—новая переменная, заменяющая п. Соответственно распределение рп запишем теперь как
234- функцию I:
Л.(0 = П(?. t). (9.1.6)
