Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
00 На границе двух диэлектриков
_ „ (пластинка и окружающая среда) ам-
5.52. Прохождение светового „
пучка через плоскопараллель- ПЛИТуда Электромагнитной ВОЛНЫ ИЗ-ную пластинку с учетом много- МвНИТСЯ . Обозначим Коэффициенты кратных отражений отражения и пропускания (по ампли-
туде) через р и т соответственно. Введенные ранее энергетические коэффициенты связаны с ними очевидными соотношениями Я = р2 и ^ = х2. При отсутствии поглощения
Я + ? = 1. (5.57)
Постановка задачи близка к случаю прохождения плоской монохроматической волны через диэлектрическую пластинку или отражения от нее (см. § 5.4). Но тогда учитывалась интерференция только двух пучков света (например, отразившихся от передней и задней поверхностей диэлектрической пластинки). Всеми последующими отраженными волнами пренебрегали, что
238
было справедливо при очень малом коэффициенте отражения р. В приводимом расчете это ограничение снимается и необходимо учесть интерференцию многих световых волн постепенно уменьшающейся амплитуды, образующихся при многократных отражениях от поверхностей диэлектрической пластинки.
При каждом прохождении через границу двух диэлектриков амплитуда волны изменяется в т раз, а при каждом отражении от такой границы она изменяется в р раз. Следовательно, амплитуды вышедших из пластинки волн равны Eqqt2, Еоот2р2 и т. д. (рис. 5.52).
Разность фаз между двумя соседними интерферирующими пучками составляет
8 = 2reZcos®2 = ?- fcosq>9. (5.58)
Kq К
где X — длина волны в диэлектрической пластинке.
Учтем эту разность введением соответствующего множителя exp(i8) в выражение для амплитуды напряженности электрического поля. Тогда суммарная амплитуда прошедшей волны
?2о = Яоо {т2 + т2р2 exp(i8) + т2р4 exp(i28) + . . .
... + ,V<->exp[i8«* - 1>„ -
По определению, р < 1. Если число N интерферирующих пучков достаточно велико, то р2ЛГ —> 0 и в пределе получается
Е2 о = $ . (5.60)
Е оо 1 — Яехр(1д)
Для вычисления изменения интенсивности света, прошедшего через диэлектрическую пластинку 1П Р//Пад» надо умножить Его/Еоо на сопряженную величину (2?2о/?оо)*:
^пр _ -^20 Е 20 *_ ? (5
^пад Еоо Eqo (1 - Я)2 + ^Я sin2(8/2)
Это соотношение называют формулой Эйри. Исследуем ее.
Интерферирующие пучки усилят друг друга, если разность хода между ними равна целому числу волн, т.е. справедливо условие
2Zcoscp2 = т(5.62) где т = 0, 1, 2, ... .
239
Минимальная интенсивность будет наблюдаться при т = 1/2, 3/2, ... . Свяжем порядок интерференции т и введенную разность фаз между напряженностью поля в соседних пучках соотношением
т = 2Zcoscp2A = 8/(2я), или §/2 = тп. (5.63)
Интенсивность максимальна, если sin(8/2) = sin(m7i) = 0, где т — целое число. Интенсивность минимальна при sin(8/2) = ±1, что следует также из анализа формулы (5.61).
Легко показать, что функция видимости интерференционной картины V = (/макс — /мин)/(/макс + /мин) И КОНТрЭСТНОСТЬ /макс//мин определяются лишь коэффициентом отражения Я • Для этого найдем экстремальные значения отношения /пр//Пад» которые оно принимает при sin(8/2) = 0 и sin(8/2) = 1:
¦^пр Г2 /пр Г2
. ^пад , макс (1 “ Я2) ’ ^пад МИН (1 + Я2)
(5.64)
Следовательно,
1 + я
1 - я
2 Я
(5.65)
1 + Я2
Анализ формулы Эйри приводит к следующим выводам: график зависимости изменения /Пр//пад (рис. 5.53) имеет вид системы максимумов, форма которых при достаточно больших Я существенно отличается от хорошо известной кривой вида cos28 [см. (5.12)], описывающей освещенность экрана, обусловленную интерференцией двух электромагнитных волн.
Чем выше коэффициент отражения Я, тем острее максимумы, разделенные широкими минимумами. Такое пространственное
5.53. График функции Эйри при различных коэффициентах отражения <Я
5.54. Форма контура интерференционной полосы (сЯ = 0,6; ? = 0,17-т)
240
перераспределение потока энергии с концентрацией его в некоторых преимущественных направлениях всегда возникает при интерференции многих пучков и четко выявляется, например, при дифракции плоской волны на правильной структуре их N щелей (см. §6.4).
Очевидно, что необходимо как-то охарактеризовать форму контура интерференционной полосы. Для этого вводят критерий резкости F, равный отношению расстояния между двумя соседними максимумами интерференции к ширине полосы s. Для нахождения F запишем формулу Эйри, исключив предварительно
Г = 1 - Я:
Zee =_______________1_____________ (5.66)
^пад 1 + 4#8in2(5/2)/(l - Я)2
Шириной полосы е, как известно, называют расстояние между двумя точками, для которых /пр//пад = 1/2. Такие значения получаются при 5/2 = тп ± е/2, где т — целое число (рис. 5 .54). Так как г мало, то можно считать, что sin(s/2) * s/2. Следовательно,
2^1 Я г_ = ,
1-Я 2
откуда ширина полосы равна
е = (1 - Я)/^Я. (5.67)
Для критерия резкости получается соотношение
F = п/г = тсШК 1 - Я). (5.68)
Так же как и функция видимости, резкость F, характеризующая форму контура интерференционной полосы, полностью определяется коэффициентом отражения Я • При Я —* 1 имеем F —> оо . Если Я ~ 0,9 (такое значение Я для зеркал часто используют в реальных интерферометрах), то резкость F оказывается немногим меньше 30 (рис. 5.66). Это значит, что расстояние между двумя соседними максимумами примерно в 30 раз больше ширины каждого из них.
