Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
7-^l+oos<^oo.«‘], <5-25>
Запишем соотношение (5.25) в более простом и удобном для сравнения с опытом виде. Для этого используем полученное ранее выражение для ширины полосы 8h, которое в наших обозначениях имеет вид 8h = Dk{2l). Заметим, что l/D = tgco, поэтому для ширины полосы справедливо соотношение 8h = V(2tgco). В дальнейшем мы еще воспользуемся им. Учитывая найденные здесь
198
величины, находим
= 2I0[1
+ cos
2nd
dh
cos
2 nh dh
(5.26)
Интенсивность суммарной картины будет изменяться как функция h по закону, который легко установить из соотношения (5 .26). Очевидно, что максимальная интенсивность будет наблюдаться в тех точках экрана, где cos2nh/(6h) = 1 [если
cos2jtd/(8ft) > 0] . Минимальная интенсивность будет там, где cos2nh/(5h)= —1 (при том же предположении о знаке второго сомножителя) . Для экстремальных значений освещенности имеем
^макс 210
1 +
COS
2nd
dh
^мин 21с
СО&
2nd
dh
(5.27)
Отсюда для видимости суммарной картины находим
у — ^макс_________^мин
I + I
1 макс г х мин
COS
2nd
dh
(5.28)
График этой функции представлен на рис. 5.18. Легко заметить, что эффект определяется соотношением между шириной интерференционной полосы 8h ( она в свою очередь зависит от апертуры интерференции 2со) и расстоянием 2d, на которое разнесены два исходных некогерентных источника света Si и S2 • Функция видимости может принимать значения, близкие к единице (если 2d « dh). Вместе с тем интерференционные по-
/4
2d<<dh
Ж/2 Ж Зж/2 2Ж 2Жd /dh
5.18. График функции видимости суммарной интерференционной картины, создаваемой двумя точечными источниками света
У 2d=dh/2
5.19. Пространственное распределение интенсивности в двух предельных случаях:
функция видимости V т 1 (в) и V -0(6)
лосы на экране могут и совсем исчезать. Они исчезнут при выполнении условия 2d = 5h/2, т.е. в том случае, когда максимумы одной интерференционной картины точно совпадают с минимумами другой. При дальнейшем увеличении расстояния 2d между
199
источниками Si и S2 видимость снова станет хорошей, пройдет через максимум при 2d = dh и снова обратится в нуль при 2d = = 38Л/2. Два предельных случая (7 * 1 и 7 = 0 ) поясняются рис. 5.19. На нем показана также суммарная кривая для случая 2d « dh. Она почти подобна интерференционной картине от одного точечного источника (V « 1), но освещенность в максимуме в два раза больше.
Перейдем к изучению интерференции света от протяженного источника. Будем наблюдать суммарную картину в тех же условиях, что и в предыдущем случае. Но вместо двух источников света Si и S2 пусть весь промежуток 2d занимает один протяженный источник света, создающий на экране среднюю освещенность /о • Разобьем его мысленно на светящиеся полоски шириной
« X. Такие элементарные источники света, конечно, некогерентны. Найдем суммарное действие этих некогерентных излучателей в произвольной точке экрана на высоте Л, учитывая, что произвольный точечный источник, смещенный на расстояние ?, от оси, создает в точке экрана на высоте ft освещенность, равную
JlL
2d
1 + cos
2 n(h — ?)
5 ft
(5.29)
Очевидно, что для определения суммарного действия всех таких элементарных источников надо проинтегрировать это выражение в пределах от — d до d:
I =
1о 2d
1 + cos
2n(h — ?) 5 ft
1+ Ж. sin cos 2nh
2nd
5 ft
5 ft
~d (5.30)
На экране будут наблюдаться интерференционные полосы. В зависимости от ft выражение (5.30) принимает экстремальные значения:
1 +
5 h 2nd
. 2nd
sin ~&г
^мин — *0
5 ft 2nd
. 2nd sm-TT" о ft
Функция видимости суммарной картины определяется выражением
V =
Sft-sin Ш 2nd 8 ft
Для функции видимости вновь получается выражение вида Isinx/xl, где х = 2nd/(dh). Как известно, при х = 0 оно обращается
200
в единицу, а с увеличением х монотонно уменьшается, обращаясь в нуль при х = п. При дальнейшем увеличении х функция |sin х/х\ опять возрастает, но до меньшего экстремального значения, и снова обратится в нуль при х = 2п. График зависимости функции видимости суммарной интерференционной картины от отношения 2%d/(bh) приведен на рис. 5.20.
Из исследования этого графика можно сделать существенный вывод . Рассмотрим лишь относительно малые значения ширины источника 2d < 5Л. Функция видимости в этом интервале уменьшается от V = 1 до V = 0. Заметим, что
V = 2/3 при 2d = dh/2. Суммарную картину можно считать достаточно хорошей для наблюдения интерференционных полос, если
V > 2/3. Легко показать, что в этом случае 7макс > 5 /мии.
Но такие условия наблюдения реализуются при соблюдении неравенства 2d < 5ft/2. Заменяя 5h — A./(2tgco), получаем искомую связь между допустимыми размерами источника, излучающего свет определенной длины волны X, и апертурой интерференции в виде
2dtgco < Х/4. (5.31)
Это неравенство показывает, что чем меньше апертура интерференции, тем больше допустимые размеры источника. Такое количественное соотношение находится в полном согласии с результатами описанных ранее опытов (отражение света от тонкой слюдяной пластинки, зеркало Ллойда), в которых удалось наблюдать четкую интерференционную картину при больших размерах источника света. Как уже указывалось, апертура интерференции в этих опытах была очень мала. Становится также понятной роль дополнительной щели в опыте Юнга. Ведь произведение 2dtgco, определенное неравенством (5.31), связано с угловыми размерами источника света, ограничение которых и позволило Юнгу наблюдать интерференцию света от двух щелей (см. § 6.5).
