Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Пусть все остальные исходные предпосылки полностью соответствуют задаче о вычислении смещения квазиупругосвязанного электрона в поле световой волны (см. §4.2). В качестве вынуждающей силы здесь будет фигурировать не произведение дЕ, а сила Лоренца, которую в данном случае следует записать в виде
9[е + l/c[vHBHenI]j. (4.35)
Во всех последующих выкладках будем считать Нвнеш = Ввнеш. Это приближение вполне законно, так как в опытах по искусственному вращению используют прозрачные тела, у которых, как правило, ц ~ 1.
На первой стадии рассмотрения эффекта Фарадея пренебрежем затуханием колебаний, т.е. будем считать, что у = 0 (тормозящая сила отсутствует). Известно, что такое приближение законно вдали от линии поглощения.
Пусть Нвнеш направлено вдоль оси Z ив этом же направлении распространяется световая волна. Напряженность ее электрического поля Е и смещение электрона г лежат в плоскости XY, перпендикулярной оси Z. Дифференциальное уравнение осциллирующего электрона в этом случае
/гаг + /г = д[Е + 1/с[гНвнеш]]. (4.36)
Вводя стандартное обозначение f/m = а>о переходя к составляющим векторов по координатным осям X и У, получаем:
^х 7ПС *"у -^внеш + ®о гх ~ ~т &х •
(4.37)
’"у + тс ^внеш + ю0 гу ~ ~т Еу •
162
Вместо двух вещественных дифференциальных уравнений
(4.37) составим одно комплексное дифференциальное уравнение. Для этого умножим второе из уравнений (4.37) на i и сложим получившиеся выражения. Тогда
-Й? (г + ir ) + i А^внеш _d_ (r + ir \ + dt2 V* + 1ГУ> + 1 тс dt х у
(4.38)
+ ®o(rx + iry) = + iEy)-
Напомним, что исходную линейно поляризованную волну всегда можно разложить на две распространяющиеся в том же направлении циркулярно поляризованные волны (по правому и левому кругам). В этом и заключается физический смысл проведенной математической операции — перехода от вещественных уравнений (4.37) к комплексному уравнению (4.38). Если в результате решения уравнения (4.38) окажется, что показатели преломления для двух циркулярно поляризованных волн не одинаковы (ппр ф плед), то будет доказано наличие поворота плоскости поляризации суммарной волны, получающейся в результате сложения двух циркулярно поляризованных волн после прохождения ими в веществе некоторого пути I при наличии продольного внешнего магнитного поля Нвнет Ф 0.
Итак, считаем, что «на входе» в вещество (г = 0) имеются две волны, поляризованные по кругу, а именно:
Ех = Eq cos at, Еу — ±Е0 sincat. (4.39)
Запишем их следующим образом:
Ех + iEy = Eq exp (Ш) (правое вращение),
Ех + iEy — Eq exp (—icot) (левое вращение),
Ищем решение уравнения ( 4.30) в виде rx + iry = го exp (±kot).
Поле дифференцирования и подстановки этого выражения в
(4.38) находим
=____________(д/т)Е0_________ (4.40)
Г° — со2) ± Я®Нвнеш/(тс)
Заметим, что в отличие от формулы (4.4), описывающей сме-
163
щение осциллирующего электрона при наличии тормозящей силы, полученное выражение (4.40) вещественно. Этого и следовало ожидать, так как поглощением мы пренебрегаем, а магнитное поле лишь изменяет направление движения электрических зарядов, но не тормозит их.
Дальнейшие выкладки очевидны: рассчитаем поляризацию среды Р = Ngr и приведенным выше способом (см. §4.2) найдем п2 = Е=1 + 4цР/Е. В результате получается формула:
о 4nNq2/m (4.41)
п+ = 1 +. ’
(®о “ ®2) ± Я®Нвяеш/(тс)
содержащая решение сформулированной задачи. Для волны, распространяющейся в исследуемой среде, получены два значения показателя преломления: гапр и галев — доказан поворот плоскости поляризации, непосредственно связанный с наличием продольного магнитного поля Нвнеш.
Для получения в явном виде измеряемых на опыте величин запишем (4.41) в виде
2 _ 2 4nNq2_____________2 дНвнешю/(тс)___________
«лев «пр т (<В2 _ 0)2)2 _ [д<оНвнеш/(тс)]2 '
Обозначая га = (гелев + гапр)/2 и пренебрегая квадратом получившегося в знаменателе добавочного члена lqwHBHeuI/(mc)]2, получаем
__ 4:TtNq3 Нвнеш® (A jm
«лев «пр пт2с (<о§. co2)2 ¦
Используя формулу (4.31), связывающую разность показателей преломления с углом поворота ср плоскости поляризации для волны, прошедшей путь I в исследуемой среде, находим
«0 , _ w _ 2nNЧ3 ^внеш
Ф - 2с (галев ПпР} пт2с2 (со2 — о2)2 ' (4.43)
Сравнивая это соотношение с экспериментальной формулой (4.34), получаем выражение для постоянной Верде в эффекте Фарадея:
2nNq3 ср2
лт2с2 (со2 — 0)2)2
(4.44)
При <в « сйо (электронные полосы поглощения лежат в ультра-
164
фиолетовой области спектра) можно пренебречь а2 в знаменателе последнего выражения и в согласии с экспериментом получить зависимость постоянной Верде от частоты р ~ а2 ~ 1Д2.
Вполне понятна также упоминавшая особенность искусственного вращения: угол поворота не зависит от направления светового пучка и полностью определяется направлением внешнего магнитного поля. Это следует как из формулы, так и из постановки данной задачи, при которой рассматривается не направление Н в электромагнитной волне, а направление Нвнеш внешнего магнитного поля. Используя зависимость (4.6), запишем выражение (4.31) в виде
.'(4.45)
