Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
«2=1 + x§lCl + Х*2с2, (4.23)
которую и надлежит сравнить с опытом.
Эксперименты показывают, что для многих случаев определенное таким образом значение пж находится в удовлетворительном согласии с V~e~(диэлектрическая проницаемость измеряется обычными электрическими методами).
Следовательно, обсуждая применимость формулы Максвелла в далекой инфракрасной области, где можно пользоваться статическими значениями е, имеет смысл записать показатель преломления в виде (4.23). Ясно, что в этом приближении главную роль играет наличие или отсутствие в спектре данного вещества инфракрасных полос поглощения, так как член Х^С2 часто вносит основной вклад в значение пх. Если сравнивать показатель преломления п, измеренный в видимой области спектра, со статическим значением V~e7 то у веществ, в спектре которых имеются интенсивные инфракрасные полосы, эти значения неизбежно окажутся совершенно различными.
Конечно, при использовании этой формулы для сравнения с данными опыта по определению показателя преломления плотных веществ (например, ионных кристаллов) нужно записать ее в форме (4.10), заменив л» на (пж — 1)/(лоо + 2) и введя соответствующий множитель в правой части.
§ 4.4. ДИСПЕРСИЯ ВБЛИЗИ ЛИНИИ ПОГЛОЩЕНИЯ (АНОМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ)
Вернемся к соотношению (4.5), в котором учтено затухание колебаний осциллирующего электрона.
Будем считать, что частота вынужденных колебаний со незначительно отличается от частоты собственных колебаний атома шо • Иными словами, в отличие от сходных посылок проведенного ранее вывода здесь исследуется дисперсия вещества в непосредственной близости от его линии поглощения.
149
Прежде всего заметим, что в данном случае диэлектрическая проницаемость оказывается комплексной величиной. Следовательно, комплексным должен быть и показатель преломления
п = п — Шэе = га( 1 — iae),
связанный с диэлектрической проницаемостью равенством л'2 = е. Для анализа выражения (4.5) подставим в него
s' = (1 - 2iae — эе2)л2, (4.24)
разделим мнимую и вещественную части и таким образом получим уравнения, связывающие л (показатель преломления) и лае (коэффициент поглощения) с частотой со:
»2,1 - 2te _ «!) - 1 + 4xAT(tVm) «о| - „V шу _
(со0 — со )+ icoy (со0 — со )— toy
2/1 2ч 1 i 4:nN(q2/m)(®o — со2)
л (1 — as2) = 1 + -----------ct- - Vo-------7-Г~ » (А
(со2 — С02)2+ у2С02 (4.25)
„ 2 = AnN(q2/m)y(?)
/2 2Ч2 . о о ‘
(со0 — со ) + у^со^
Ограничимся исследованием полученных формул, так как попытка довести выкладки до конца (т.е. получить в явном виде зависимость л и лаг от свойств изучаемого вещества) привела бы к очень громоздким выражениям.
Прежде всего заметим, что изменение функции 2л2аг с частотой подобно изменению коэффициента поглощения пх. В самом деле, при со —>оо функция 2л2аг —> оо, при со —> coq она имеет максимум, который довольно быстро исчезает по мере увеличения разности со2 — со§. Максимальное (амплитудное) значение (2л2ае^маКс = = 47tiVg'2(mycoo) тем больше, чем меньше константа затухания у. Ширина максимума в шкале частот возрастает с увеличением у.
График функции л2(1 — х2) в основном воспроизводит зависимость л(со). При со —>оо эта функция стремится к единице. Максимальное и минимальное значения у = л2(1 — х2) принимает вблизи частоты, соответствующей линии поглощения. Эти экстремальные значения со^г можно определить, вычислив первую производную dy/dco и приравняв ее нулю. Соответствующие расчеты показывают, что расстояние между экстремумами функции у равно ширине максимума функции 2п2х, т.е. пропорционально коэффициенту затухания у.
150
На рис. 4. Ъ нанесены графики функций 2и2эе и и2( 1 — ж2), передающие в основных чертах изменение коэффициента поглощения и показателя преломления вблизи линии поглощения. Мы видим, что подробно обсуждавшаяся в § 4.3 кривая с разрывом близ со = то (полученная в предположении у = 0) трансформировалась при учете поглощения в характерную непрерывную кривую ABCD (дисперсионная кривая). Математически эта трансформация эквивалентна переходу от имеющей разрыв гиперболы г =
= —\/х к резонансной кривой г = —х/(х2 + Ъ2), которая при Ъ —> 0 снова переходит в гиперболу с особой точкой х = 0.
Рис. 4.6 показывает, что на участке ВС показатель преломления убывает при возрастании частоты и после перехода через центр линии поглощения (m = (во) становится меньше единицы. Это значит, что в данных условиях фазовая скорость волны больше скорости света в вакууме. Мы уже сталкивались с подобными явлениями, и выше указывалось, что соотношение и > с не противоречит теории относительности, запрет которой (V < с) не распространяется лишь на скорость переноса энергии. Однако нужно предостеречь читателя от попыток оценить для этого случая скорость U, используя формулу Рэлея. Детальное исследование показывает, что такие оценки некорректны при столь резких изменениях показателя преломления, которые происходят вблизи линии поглощения, и в этом случае необходимо различать групповую скорость волн и скорость сигнала (см. § 1.4).
Перейдем теперь к сравнению теоретических результатов с данными опыта. Наблюдается несомненная аналогия между изменением показателя преломления (рис. 4.6), найденным по формулам (4.25), и упоминавшимися выше результатами экспериментальных исследований поглощения и преломления света различными красителями (см. рис.4.2). В согласии с данными Кундта и других участок ВС кривой ABCD, где показатель преломления убывает с частотой (дп/дсо < 0), совпадает с максимумом коэффициента поглощения. Таким образом, в рамках электронной теории дисперсии решена еще одна важная задача и установлена связь коэффициента поглощения и показателя преломления света вблизи линии поглощения.
