Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
140
терь на излучение и энергии, запасенной в атоме, что позволило оценить «добротность атома», которая оказалась весьма большой (» Ю7). Упоминавшиеся выше причины (столкновения, тепловое движение) могут в 10—100 раз уширить линию излучения, но и при этом в полной мере сохраняется основной результат — в течение одного периода атом теряет очень малую часть накопленной энергии и, следовательно, введение такой тормозящей силы в уравнение движения остается вполне законным.
Итак, дифференциальное уравнение движения осциллирующего электрона имеет вид
тх = —fr — gr + qE. (4.2)
Напомним, что g/m = у и f/m = оо2. Перегруппировав члены,
найдем
г + уг + со2г = qE/m. (4.3)
Будем исходить из того, что напряженность электрического
поля изменяется по закону Е = Ео exp(twi). Следовательно, решение этого уравнения следует искать в виде
г = г0 ехр(Ш). Замечая, что г = iwr, г = —со2г, получим Го(—со2 + iyco + со§) = qEo/m
или
г0 - т-2----q/Z , ¦—Е0. (4-4>
и (cog — со*) + iyco и
Вместе с тем мы знаем, что Р = Nqr и е — 1 = 4пР/Е. Теперь уже нетрудно получить окончательный результат и установить наличие зависимости показателя преломления от частоты, т.е. существование дисперсии. В самом деле,
п2 = е = 1 + 4nAT(g2/m)_________ (4 5)
(оо2 — со2) + iyco
Анализ этого соотношения позволит решить все поставленные выше задачи. Разумно начать его с более простого случая, когда можно пренебречь поглощением.
§ 4.3. ДИСПЕРСИЯ ВДАЛИ ОТ ЛИНИИ ПОГЛОЩЕНИЯ (НОРМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ)
Согласно выражению (4.5), диэлектрическая проницаемость s (а следовательно, и показатель преломления) — величина комплексная. Если в (4.5) положить у = 0, то диэлектрическая проницаемость будет вещественной. Переход от комплексного значения показателя преломления к вещественному означает пренебрежение поглощением электромагнитной волны. -Рассмотрим это приближение более подробно:
„2 = е = 1 + Ц. (4.6)
cog — ®
На рис. 4.3 представлена зависимость функции (и2 — 1) от частоты излучения. За исключением точки со = со0, где эта функция терпит разрыв, что не может соответствовать физической реальности, показатель преломления всюду возрастает с увеличением частоты, т.е. имеет место нормальная дисперсия вещества (дп/дХ < 0).
Можно выявить те условия, при которых приближение у = 0 имеет вполне определенный физический смысл. Как уже указывалось, все прозрачные тела не имеют полос поглощения в видимой области, а при переходе в ультрафиолетовую часть спектра подавляющее большинство таких тел начинает интенсивно поглощать электромагнитные волны [пока не учитываются инфракрасные полосы поглощения, наблюдаемые у некоторых прозрачных тел; см. (4.18) и далее] . Для всей видимой части спектра
справедливо неравенство со « со0 (дисперсия изучается вдали от линий поглощения), и при исследовании таких тел можно пользоваться лишь левой частью кривой рис. 4.3. Иными словами, частота собственных колебаний осциллирующего электрона соответствует ультрафиолетовой части спектра. В полном согласии с опытом всех прозрачных тел наблюдается нормальная дисперсия (тгфИОЛ > пкр, если сокр < со < софИОЛ). Предположив, что со « со0, можно разложить выражение (4.6) в ряд по степеням ( со/со0) и ограничиться в этом разложении двумя членами; тогда
о
4.3. Зависимость (п* — 1) от частоты в отсутствие поглощения
Заменяя ш = 2пс/Х и ©о = 2лсД0, получаем простую формулу, которую легко сравнить с опытными данными:
п2 = 1 + А(1 + В/Х2), (4.8)
где
А = 4nNq2/(m(?)%), В = 4п2с2/®% (4.9)
и отношение В/А не зависит от частоты собственных колебаний электрона соо •
Соотношение (4.8) совпадает с выражением (4.1), в котором соответствующие константы должны были определяться из экспериментальных данных. Следовательно, появляется возможность проверки электронной теории дисперсии, так как константы А и В можно оценить как из наблюдаемой на опыте зависимости п(к), так и по формулам (4.9). При таком сравнении нужно определить из газокинетических данных концентрацию атомов N и правильно оценить число излучающих электронов в атоме. Задавшись известным значением удельного заряда электрона q/m, можно оценить частоту собственных колебаний соо и сравнить ее с имеющимися в литературе данными о полосах поглощения исследуемого вещества в ультрафиолетовой области спектра. Используя соотношение В/А = nmc2/(Nq2), можно сравнить экспериментально найденное значение констант с рассчитанными . В этом случае не нужна детальная идентификация спектра поглощения (В/А не зависит от соо) и, как уже указывалось, необходимо лишь правильно оценить концентрацию атомов и число излучающих электронов.
Сравнения подобного рода проводились неоднократно, и наблюдалось удовлетворительное совпадение (расхождение 10—20%) данных эксперимента и расчета констант Л и В по приведенным выше формулам.
При проверке соотношения (4.8) следует учитывать, что предположение об отсутствии взаимодействия между излучающими электронами справедливо лишь при исследовании разреженных газов, а также ряда веществ, в которых концентрация излучающих центров достаточно мала. При большой плотности вещества наше предположение неверно. В этом случае кроме внешнего поля Е нужно учесть еще электрическое поле, создаваемое в той точке, где находится электрон, всеми остальными электрическими зарядами. Такое рассмотрение ( а именно учет «поля Лоренца»), как известно, приводит к своеобразной зависимости диэлектрической проницаемости от свойств среды (формула Клаузиуса — Мосоти). Учитывая, что е = п2, и проводя совершенно аналогичные рассуждения, легко получить следующее со-
