Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
61
ния атомов обязательно должно проводиться квантово-механи-чески, однако полученное значение тизл ~ 10"8 с все же можно использовать для оценки роли различных явлений, связанных с немонохроматичностью колебаний.
§ 1.6. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Мы уже неоднократно упоминали, что спектр монохроматической волны E(v) должен характеризоваться бесконечно узкой спектральной линией при v = vo. Однако простыми опытами можно убедиться, что спектр всех реальных источников света в той или иной степени отличается от этой идеализированной модели, основанной на решении уравнений Максвелла. Такое несоответствие можно истолковать, основываясь на утверждении, что в реальном эксперименте мы исследуем сумму многих монохроматических волн. Утверждение не противоречит теории, так как в силу линейности уравнений Максвелла их решением может быть конечная (или бесконечная) сумма монохроматических функций и суммарная амплитуда может сложно зависеть от частоты . Но в этом случае мы вправе поставить вопрос о законности разложения функции, описывающей регистрируемую на опыте волну, на сумму монохроматических функций. Обсуждение физических и математических следствий такой процедуры и является основным содержанием этого параграфа.
Начнем это исследование с обсуждения некоего идейно простого опыта. Рассмотрим результат сложения двух монохроматических волн с частотами (Bj и отличающимися на малую величину Дсо << (©j + <В2)/2 • Пусть для простоты выкладок их амплитуды равны, а поляризация одинакова и мы можем решать скалярную задачу. Тогда
E(t) = Ео coscoi* + Ео coso)21 = 2Ео coscoscot = Ею costat. (1.42)
В этом равенстве E\o(t) — медленно изменяющаяся амплитуда суммарной волны, которую мы называем квазимонохроматичес-кой. Действительно, за время х = 2л/Дсй произошло много колебаний периода Т = 2л/со, и если бы нам удалось проводить измерения <Ею2> в течение одного или нескольких таких периодов, то мы могли бы с большой точностью считать амплитуду этой волны постоянной.
Но в результате этих простых тригонометрических преобразований мы можем сделать важный вывод: амплитудно-модулированное колебание E\o(t) cos соt (квазимонохроматическую волну) можно разложить на две монохроматические волны с
62
###
б)
а)
частотами coj и ©2 • Ниже приведено математическое обоснование законности такой процедуры в общем случае, а сейчас остановимся на возможности наиболее простой экспериментальной иллюстрации этого мысленного опыта.
Два звуковых генератора излучают две волны на частотах со* и со2 при соблюдении условия Дсо « со = (а>1 + со2)/2. Эти две волны складываются, и можно анализировать суммарную волну как при помощи осциллографа, так и анализатора спектра — устройства, позволяющего
резонансно настраиваться wy со2
на любую длину волны в заданном диапазоне. На экране осциллографа мы увидим зависимость суммарной амплитуды Ею(?) от времени — известные нам из теории колебаний биения (рис. 1.24,а), а анализатор спектра покажет наличие двух монохроматических частот ©1 и со2 (рис. 1.24,6). Следовательно, выбор определенной методики измерений неизбежно приведет нас к регистрации той или иной зависимости, фиксированной в уравнении (1.42), и бесполезно спорить, какая из них правильна. В зависимости от свойств приемников излучения (например, их инерционности) вид результирующей амплитуды изменяется, но бесспорен общий вывод возможности разложения этого зависящего от времени колебания на две монохроматические волны.
Проведенное рассмотрение простого эксперимента является как бы введением в решение общего Bonpocia о возможности преобразования произвольной временной функции в соответствующую частотную зависимость. Обоснование этой процедуры содержится в теореме Фурье, значение которой для физических исследований трудно переоценить. В этой теореме, подробное рассмотрение которой содержится в любом курсе высшей математики, утверждается: любую конечную и интегрируемую функцию E(t) можно представить в виде интеграла:
1.24. Результаты двух способов регист-рации биений двух воли близкой частоты:
измерение суммарной картины (fl); резонансная настройка на частоту колебаний (б)
E(t)
Е (v) exp (2nivt) dv,
где функция E(v) определяется из известной E(t) соотношением
00
E(v) = | Е (t) exp (-2mvt) dt. (1.43)
--00
63
Соотношение (1.43) устанавливает связь между энергетическим и спектральным описаниями электромагнитной волны и после простых выкладок приводит к важнейшему для эксперимента соотношению между суммарной энергией излучения и энергетической спектральной плотностью:
Е2 (t) dt = 2 |Е (v)12 dv.
(1.44)
При исследовании периодических функций (Т = 2п/а>)-, часто встречающихся при описании оптических явлений, интеграл в выражении (1.43) заменяется суммой:
E(t) = X Еп ехр (2mvt),
п= оо
Г/2
где Еп = jr
Е (t) exp(-2ravt) dt,
(1.45)
—Г/2
т. е. проводится разложение в ряд Фурье по дискретным частотам Vji = п/Т. В этом случае формула (1.44) приобретает вид
<E2(t)>
2 Z | Еп
п=1
(1.46)
Покажем, к каким результатам приводит соотношение (1.43) в простом случае, когда исследуемое колебание E(t) является отрезком синусоиды. Пусть E(t) = Eq exp(2nivQt), если —х/2 < t < х/2, и E(t) = 0, если |t| > х/2 (х — продолжительность исследуемого колебания).
