Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
k0—Ak
Выражение для фазы колебания легко преобразовать к виду
ю(й) t — kz = юо* — koz + [(ю — юо)t — (k — &o)2l •
Тогда для результирующей напряженности электромагнитного поля получаем
E(z, t) = C(z, t) exp[i(a>o* — koz)] . (1-27)
Это уравнение плоской волны с частотой юо и волновым числом ko, амплитуда которой C(z, t) будет медленно изменяться
(в пространстве и во времени), так как
М« 1 и А® « !. «о (Во
Следовательно, C(z, t) является модулированной амплитудой этой группы волн (огибающей волнового пакета). Скорость распространения огибающей мы и будем называть групповой скоростью U. Согласно (1.27), амплитуда C(z, t) задается выражением
ko+Ak
C(z, t)
E0(k) exp{[i(co — юо)* — (ft — fco)z]} dk. (1.27a)
kQ—Ak
Мы видим, что амплитуда C(z, t) представляет суперпозицию монохроматических составляющих с волновыми векторами Ak = = k — ko и частотами Дю = ю — юо- Выражение (1.27а) описывает огибающую группы волн, закон движения которой мы хотим получить. Электромагнитные волны, образующие группу, описываемую выражением (1.27), и движущиеся со скоростью и = co/k, имеют более высокую частоту (юо » Дю), чем монохроматические составляющие C(z, t).
Так как нас интересует ход функции ю(й) в узком интервале вблизи ko, то можно разложить (ю — юо) в ряд:
48
to —&>0 =
I dk )k=k0
(ft - fto) +
d2a>j 2 ^ dk2) k=kg
(ft — ft0)2 +•••
Ограничиваясь в этом разложении первым членом ряда, получим из (1.27а) следующее выражение:
kQ-bAk
С (г, t) =
E0(k) exp \i(k — k0)
kQ — Ak
(§?>
I dk )k=k
2J j dft. (1.276)
В этом приближении результирующая амплитуда C(z, t) представляет суперпозицию низкочастотных монохроматических составляющих, распространяющихся с одинаковой скоростью. Зависимость от координат и времени у всех составляющих одинакова, и волновой пакет движется как целое (не деформируясь) с групповой скоростью U = (да/dk )k-kQ •
Итак, групповая скорость U = da/dk, тогда как фазовая скорость и = co/k. Для нахождения связи между ними запишем
U
dco = d{uk) _ , du
dk dk dk
Это выражение легко преобразовать, учитывая, что 2л
к - Т " d* -
dA.;
тогда окончательно получаем выражение, называемое формулой Рэлея:
тт *i du
С/ = и — А. — .
dh
Такой же результат можно получить, исходя из суперпозиции двух близких по частоте волн (А. и X + АХ, а скорости и и и + А и), когда возникают биения. Если в какой-то момент времени совпали максимумы двух волн (Р и Р'; рис. 1.17), то через отрезок времени т = ДА./и совпадут соседние максимумы (Q и Q'). Очевидно, что максимум импульса сместился на длину волны А. и его скорость U определится соотношением U = и — Х/х. Подставляя указанное значение т и переходя к пределу, мы сразу получаем формулу Рэлея (1.28). Этот предельно простой вывод допол-
—*- и +ди
А +дА
1.17. К выводу формулы Рэлея из биений двух волн
49
няет приведенное выше рассмотрение, положительной чертой которого было непосредственное вычисление амплитуды суммарной волны и скорости ее перемещения U = д&/dk.
Проведем подробный анализ найденного соотношения между фазовой и групповой скоростями.
1. Если ди/дХ = 0, т.е. п = const, то дисперсия отсутствует и U = и; иными словами, фазовая и групповая скорости совпадают. Это справедливо не только для некоторых материальных сред. В частности, для световых волн в воздухе и воде можно не учитывать дисперсию, так как она пренебрежимо мала.
2. Если ди/дХ > 0, то U < и. Этот случай, как правило, реализуется при прохождении света сквозь различные стекла и другие прозрачные среды. Заметим, что если > 0, то < О,
так как Щ = —Цг • Следовательно, показатель преломления
дХ пг дХ
п уменьшается с увеличением длины волны. Эту часто встречающуюся зависимость п от к называют нормальной дисперсией.
дл
3. Если ди/дХ < 0, то U > и. В этом случае > 0, т. е.
показатель преломления возрастает с увеличением длины волны. В дальнейшем показано, что такая зависимость п от X может иметь место в тех областях спектра, где наблюдается интенсивное поглощение света. Она называется аномальной дисперсией.
Теперь понятно то расхождение экспериментальных данных, которое наблюдалось при прохождении света сквозь сероуглерод. В этом веществе дисперсия резко выражена и U & и, причем U < и (нормальная дисперсия). Поэтому в результате измерения на опыте U и вычисления c/XJ получается значение 1,76, отличное от п = с/и = 1,64.
В наших рассуждениях мы исходим из того, что на опыте обычно измеряется групповая скорость U. Это действительно так; практически все приемники света реагируют на усредненное значение квадрата напряженности электрического поля <Е2>. Более того, детальный анализ любого эксперимента по определению скорости электромагнитных волн показывает, что в опыте тем или иным способом образуется импульс света, который затем регистрируется. Наиболее ясно это выявляется при изучении различных способов, основанных на прерывании света (метод Физо, Майкельсона и т. д.). Следует также указать, что все радиолокационные установки в диапазоне УКВ работают на принципе «эхо», регистрируя отраженный сигнал и измеряя т = 2R/U, где R — расстояние до исследуемого объекта. Так как в воздухе U = и = с, то R = ст/2. Многократная проверка правильности показаний локаторов и свидетельствует о том, что в этом случае U = с.
