Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
В середине XIX в. были также накоплены сведения об электродинамической постоянной, фигурирующей при переходе от электрических к магнитным единицам. Она имеет размерность скорости и по значению очень близка к скорости света в вакууме. Наилучшие измерения, проведенные электромагнитными методами, приводили к значению (299 770 ± 30) • 105 см/с. Имеются данные, что столь хорошее совпадение этих констант, казавшееся в те времена случайным, стимулировало исследования Максвелла по созданию единой теории распространения электромагнитных волн. После появления этой фундаментальной теории уже не могло быть сомнений в том, что скорость света в вакууме и электродинамическая постоянная — это одна и та же константа, а совпадение результатов измерений ее значения, выполненных различными методами, является доказательством универсальности теории Максвелла, справедливой для любых электромагнитных волн. Ниже будет охарактеризован современный способ прецизионного определения скорости света в вакууме.
В XIX в. появилась возможность точного измерения скорости света и в каком-либо веществе (газообразном или жидком). Из таких измерений можно определить с/и = п и сравнить его с табличным значением показателя преломления для данного вещества, получаемого из основанных на использовании закона преломления измерений, которые можно провести с большой точностью. Обычно значения п - sin ср/sin срг хорошо согласуются со значениями, найденными из измерений скорости света, но в некоторых случаях возникают расхождения. Так, например, для показателя преломления сероуглерода вместо п = 1,64 было получено значение 1,76, что выходит за пределы допустимой погрешности измерений. Это является следствием значительных трудностей, неизбежно возникающих при описании движения импульса в среде, в которой показатель преломления зависит от частоты, т. е. в диспергирующей среде. В таком случае кроме фазовой скорости нужно ввести еще групповую скорость, характеризующую скорость распространения всей группы волн, к рассмотрению которой мы переходим.
Не будем сейчас обсуждать причины, приводящие к зависимости поти (дисперсии). В рамках классической электромагнит-
46
ной теории объяснить дисперсию невозможно. Лишь объединение электромагнитной теории света с электронной теорией (что было впервые выполнено Лоренцем на рубеже XIX и XX вв.) приводит к полному количественному истолкованию всех связанных с этим явлением вопросов.
Следует учитывать, что немонохроматичность световых волн в первую очередь обусловлена реальными условиями возбуждения в источниках света. Качественное рассмотрение этих сложных проблем проведено в гл. 4. На данном этапе будем исходить из эксперимента, показывающего, что вдоль оси Z (по-прежнему рассматривается одномерная задача) распространяется не одна монохроматическая волна, а совокупность таких наложенных друг на друга волн с разными значениями и, которую мы будем называть импульсом (волновым пакетом). Уравнение для подобной группы волн можно записать в виде волны, модулированной по амплитуде. Так, например, легко доказать, что модулированное колебание с амплитудой Eo(t) = Eq (1 + т cosQi) при Q « ю и т < 1 можно заменить суммой трех монохроматических колебаний вида Eq cosooi, ^/zm Eq cos(a> + Q)t, V2mEo cos(oo — Q.)t. Тождественность такой записи проверяется простыми тригонометричес- 7V''»w<i
кими преобразованиями. Z
На опыте удобно регистрировать V ^ \ \
максимум амплитуды, поэтому обычно \ <2
под групповой скоростью понимают ------------^ ___ >
скорость перемещения максимума \ \ ^
энергии в исследуемой группе волн. \ V—13
Эта скорость U может отличаться от ----------vA/ \^V”^
скорости распространения горбов или ~ z
впадин (риС. 1.16), перемещающих- 1.16. Последовательные «мо-СЯ С фазовой скоростью U. Для опре- ментальные снимки» группы
деленности на рис. 1.16 выбрано в°лн (t3 > t2 > ), в кого-
тт ^ рои фазовая скорость и боль-
соотношение и > U. В данном случае ше групПовой скорости и сзади импульса как бы пристраиваются новые горбы и впадины, что и приводит к разнице между значениями фазовой и групповой скорости. Совершенно очевидно, что получение любой физической информации связано с передачей сигнала и, следовательно, лишь для групповой скорости существенны те ограничения, которые накладываются теорией относительности (скорость любого сигнала не может быть больше скорости света в вакууме; см. гл. 7).
Установим связь между групповой и фазовой скоростями. Для этого прежде всего получим выражение для групповой скорости.
Эту задачу полезно рассмотреть в общем случае. Для импульса, состоящего из бесконечно большого числа монохроматических плоских волн, непрерывно заполняющих интервал частот
47
юо ± Д®0 (где Аюо « юо)> имеем Ek = EQ(k) exp[i (юг — kz)] . Считая, что значению Дюо соответствует некая добавка Ak к волновому числу ко (т. е. юо — Ла>о соответствует &о — ДА), находим выражение для результирующей напряженности электрического поля путем интегрирования по переменной k в пределах от Ао — Д° ^0 +
&0+Д&
Е = | E0(k) ехр {[г[ю(&) t — kz]} dk.
