Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
В последующие несколько лет исчезли всякие сомнения в значении идей о квантовании энергии и справедливости формулы Планка, которая была использована в самых различных областях физики. Более того, наличие этой формулы стимулировало введение новых понятий, значение которых проявилось лишь в последующие десятилетия. Для иллюстрации этого приведем основы вывода формулы Планка, который был предложен Эйнштейном в 1916 г. В этом выводе было впервые введено понятие вынужденного излучения, играющее основную роль в механизме генерации мазеров и лазеров.
Предположив, что энергия может излучаться и поглощаться лишь определенными порциями (квантами), естественно считать,
426
что существуют какие-то дискретные уровни энергии, при переходе между которыми и происходит излучение и поглощение. Такое развитие квантовых представлений в явной форме фигурировало еще в теории атома, разработанной Н. Бором. Сложнее привыкнуть к представлению о вероятностном характере всех рассматриваемых явлений. При атомном переходе, сопровождающемся выделением кванта hv, нельзя указать, в каком атоме произойдут такие переходы, а можно лишь говорить о вероятности того, что определенная доля атомов претерпит подобные изменения . Другими словами, нельзя предсказать, какие атомы претерпят изменения, а можно лишь указать, сколько произойдет таких превращений.
Будем исходить из того, что исследуемая атомная система находится внутри полости, изотропно заполненной равновесным излучением спектральной плотности Uv при температуре Т. Рассмотрим атомные переходы между двумя уровнями. Пусть энергия верхнего m-го уровня Wm, а энергия нижнего «-го уровня Wn. Разность Wm — Wn = hv, где v — частота, на которой происходят переходы атомов между этими двумя уровнями.
Скорость уменьшения числа атомов на верхнем уровне dNm/dt за счет указанных переходов (т -> п) определится произведением вероятности этого процесса Атп и числа атомов, находящихся на данном уровне Nm:
dNm = AmnNmdt. (8.42)
Такие переходы происходят без какого-либо внешнего воздействия, носят случайный характер и называются спонтанными. Вероятность спонтанного перехода Атп является атомной константой и для двухуровневой системы обратно пропорциональна времени жизни атома на данном энергетическом уровне (см. § 5.6). Очевидно, что переходы, в которых участвуют независимые атомы, которые пространственно разделены и высвечиваются в различные промежутки времени, должны приводить к некогерентному излучению.
Кроме спонтанных излучательных переходов должны иметь место переходы с и-го на т-й уровень, сопровождающиеся поглощением излучения атомной системой. Не составляет труда оценить скорость dNn/dt процесса поглощения излучения, используя принятое статистическое описание. Для этого обозначим через Bnmuv соответствующую вероятность перехода, а через Nn — число атомов на п-м уровне. Нужно также учесть, что каждый атом черпает энергию из окружающей среды, т.е. эти переходы происходят под действием некоторой вынуждающей силы. Тогда для процесса поглощения энергии, сопровождающегося вынужденным переходом с л-го на т-й уровень, справедливо соотно-
427
шение
dNn = BnmNnUvdt. (8.43)
Однако, как впервые указал Эйнштейн, необходимо учесть и обратный процесс — вынужденные переходы с m-го на п-й уровень. Действительно, атомы, находящиеся на т-м уровне (их число, как уже было указано, равно Nm), под действием электромагнитного поля с некоторой вероятностью BmnUv переходят на нижний уровень. Этот процесс называют вынужденным излучением или «отрицательным поглощением». В принятых обозначениях кинетику этого процесса можно записать в виде
dN'm - BmnNmUvdt. (8.44)
Заметим, что такие вынужденные переходы при выполнении некоторых дополнительных условий приводят к когерентному
высвечиванию системы.
Итак, вместо двух процессов (излучение и поглощение света), которые обычно учитывают в термодинамике излучения, нужно исследовать три возможных вида переходов, введя вынужденное излучение (рис. 8.11).
Дальнейшие рассуждения очевидны: считается, что все разнонаправленные процессы в системе, находящейся в равновесии, должны быть скомпенсированы, т.е. число происходящих в единицу времени т -» п - переходов равно числу п -> m-переходов. Следовательно,
8.11. К выводу формулы Планка по Эйнштейну
должно быть
Тогда
dNm + dJStjn = dNn.
Uv =
AmnN *
BnmNn BmnNn
(8.45)
Числа атомов Nm и Nn на двух интересующих нас уровнях определятся из соотношений Больцмана:
Nm = Nq exp\-Wm/(kT)], Nn = N0 exp[~Wn/(kT)}.
Тогда
428
v = _____________Amnexp[-Wm/(kT)]___________
v Bnmexp[-Wn/(kT)]-Bmnexp[-Wm/(kT)] '
Эту формулу легко упростить, исходя из следующих очевидных соображений. При Т -* <*> плотность энергии Uv также стремится к бесконечности. Но это может быть лишь, если Втп = Впт. Используя это равенство, получим
_ Атп/Втп ^ Атп/Втп
V “ exp[(Wm-Wn)/(kT)]-l ~ exp[hv/(kT)]-l '
Учтем, что плотность энергии Uv должна удовлетворять термодинамической формуле Вина. Для выполнения этого требования нужно, чтобы Атп/Втп = av3, где a — некоторая константа, определяемая из условия, что при hv <sc kT выражение (8.47) должно переходить в формулу Рэлея—Джинса. Следовательно,
