Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Гипотеза, выдвинутая Планком, заключается в том, что энергия осциллятора не может принимать произвольные значения, а должна быть кратной некоторой вполне определенной величине Wq, называемой квантом энергии. Другими словами, энергия W должна быть равной uWq, где п — обязательно целое число (л = 1,2,3,. . .). Это значит, что излучаемая и поглощаемая осциллятором энергия также может принимать лишь вполне определенные (квантованные) значения, т.е. излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а определенными порциями — квантами.
Приняв эту гипотезу, уже нельзя исходить из равнораспреде-
8.10. Зависимость испускательной способности черного тела от длины волны из опыта (i) и по Рэлею и Джинсу (2)
423
ления энергии по степеням свободы и вычислять среднюю энергию осциллятора указанным способом с использованием соотношения вида (8.34). Учитывая дискретное изменение W, нужно заменить интегралы в этом выражении бесконечными рядами и для определения <W> найти отношение сумм этих двух рядов:
<w> =XnWoexp[-nWV(&r)] / X exp[-nW0/(kT)] . (g.38)
n=0 л=О
Вычисление средней энергии осциллятора легко провести, заметив, что каждый член геометрической прогрессии в числителе выражения (8.38) с точностью до знака равен производной по ? = 1 /(kT) от соответствующего члена прогрессии, находящейся в знаменателе этого соотношения:
<W> = --A_ing №W0) = 1_eXp(_,Wo)
n=0
W0exp(-^0) wo
l-exp(-^o) exp[W0/(kT)]-l'
(8.39)
Итак, для среднего значения энергии осциллятора <W> получилось совсем иное значение, чем при использовании закона классической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Подставляя (8.39) в исходное выражение (8 .32), имеем:
8nv2 W0
U v
сЗ exp[WQ/(kT)] — 1 ’
(8.40)
27tv2 Wn
V’T с2 exp[WQ/(kT)} — 1 '
Для получения окончательных выражений остался всего один шаг. Выражения (8.40) должны удовлетворять термодинамической формуле Вина (8.5). Для выполнения этого требования нужно положить Wq = hv, где h не может зависеть от v и Г, т.е. является константой. После этого простого преобразования получаем формулу Планка:
424
8nv2 hv
с3 ехр[Лу/(&Г)] — 1 ИЛИ
(8.41)
2 7tv2 Лу
^v,r = c2 exp\hv/(kT)] — l
Проанализируем эти фундаментальные соотношения. Очевидно, что при hv <к: kT можно разложить экспоненциальную функцию в ряд:
exp [hv/(kT)] = 1+ + ... .
Тогда, ограничиваясь в этом разложении вторым членом, получаем формулу Рэлея—Джинса (8.35):
27tv2
rv т = ---2— ЬТ.
Значит, при малых частотах (точнее, при выполнении условия hv <к kT) квантовая формула Планка переходит в классическую формулу Рэлея—Джинса. Следовательно, условие малости кванта энергии hv по сравнению с величиной kT определяет границы применимости классической теории. Если нельзя считать hv <sc kT, то использование формулы Рэлея—Джинса незаконно и для описания свойств теплового излучения нужно применять формулу Планка.
Переходя от частот к длинам волн, запишем формулу Планка в виде, который удобно сравнивать с данными опыта:
2 пс2 h
гх,т --------------- --------- • (8.41а)
X5 exp [hc/(XkT)]—1
Оказалось, что формула (8.41а) отлично согласуется с рассмотренными ранее (см. §8.1) экспериментальными кривыми: при уменьшении длины волны гк не стремится к бесконечности, а имеет максимум при некотором значении ^макс- При X -* 0 формула Планка предсказывает экспоненциальный спад г\, что также полностью соответствует данным опыта.
Используя качественное согласие экспериментальной и теоретической кривых г\, можно добиться полного их совпадения,
425
выбрав определенное значение константы h, соответствующее опытным данным в формуле Планка. При первичной оценке h Планк воспользовался значениями констант ст и Ъ в законах черного тела (8.13), (8.14). В дальнейшем эта важнейшая физическая константа была измерена различными способами. Некоторые способы определения постоянной Планка (из опытов по фотоэффекту и по коротковолновой границе сплошного рентгеновского спектра) описаны в последующих параграфах этой главы. Наиболее точным считается значение h = 6,626122 • 10"27 эрг-с.
Работа, опубликованная М . Планком й начале XX в ., не сразу встретила признание. Многие видные физики того времени были склонны считать предложенный Планком способ вычисления <W> неким математическим фокусом, не имеющим серьезного физического смысла. Большой заслугой Эйнштейна является своевременная поддержка и развитие этой принципиально новой идеи, обусловившей революционные преобразования в физике. В частности, Эйнштейн сразу же предложил использовать формулу Планка для объяснения зависимости теплоемкости твердых тел от температуры вблизи О К, истолковал опыты по фотоэффекту, введя понятие фотона и заложив основы квантовой оптики (см. § 8.5). Об этом стоит упомянуть, так как в популярной литературе иногда встречаются попытки представить Эйнштейна ученым, завершившим классическую физику, но не принявшим квантовых представлений. Это совсем неправильная точка зрения . Эйнштейн, бесспорно, был одним из творцов новой квантовой физики, а его сомнения и поиски смысла вероятностного описания, свойственного дальнейшему развитию квантовой механики, отражают глубину подхода этого гениального ученого ко всем проблемам естествознания. Другое дело, что по многим причинам, из которых не последнюю роль играли многолетние попытки решить непомерно трудную задачу создания единой теории поля, за последние 30 лет своей жизни Эйнштейн не внес существенного вклада в бурное развитие квантовой физики.
