Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Мы получим здесь общее выражение для преобразования частоты, рассмотрим принципиальное различие эффекта Доплера в оптике и акустике, выясним, как проявляется эффект при направленном и хаотическом движении излучающих частиц. В заключение охарактеризуем возможность интерферометри-ческого измерения малой относительной скорости движения излучателя и приемника.
Исследуем относительное движение источника электромагнитных волн и приемника, которое всегда можно разложить на продольное движение и N движение, направление которого перпендикулярно линии, соединяющей исследуемые два тела. Вычисления ведут в предположении, что излучатель и приемник движутся равномерно и прямолинейно, т.е. рассматри- х
вают две связанные с ними инерциальные Jj-----------^—----*~х'
системы X, Y, Z и X\ Y, Z'. Дисперсия
среды не учитывается, волна распростра- 7.10. к вопросу о про-няется В вакууме (П = 1). Эти упрощения дольном эффекте Доплера не снижают общности вывода и соотве- 1
тствуют условиям, обычно реализующимся при астрономических измерениях.
Проведем расчет продольного эффекта Доплера, используя преобразования Лоренца. В этом случае относительная скорость движения приемника света и излучателя v и нормаль к плоской волне направлены вдоль одной прямой, которая совпадает с направлением оси ОХ (рис. 7.10). Уравнение плоской волны в
связанной с излучателем системе X, Y, Z
Е - 11е.ЕоехР[*2лу(? — Vе)]- (7.33)
В системе X, Y, Z', связанной с приемником света,
Z',
и п'
п
383
Е = Re?0exP
i2tcv
t+(v/c2) _ x'+vt
y/1 — p2 <Vl — P2
Re?0exP
i2;tv
Vl—p2
(1—P)
(7.34)
Но очевидно, что в системе X', Y, Z' уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ',
Е = Re?oexP[i27tv'(i' — х/с)] .
(7.35)
Сравнивая последние два соотношения, получаем закон преобразования частоты для случая, когда нормаль п к фронту волны и относительная скорость v движения направлены вдоль одной прямой (продольный эффект Доплера):
1-Р
V = v •
V 1-Р2 ¦
Это выражение можно также записать в виде
(7.36)
v' ¦ <7-з7)
Если относительная скорость v мала (и <*: с), то в достаточно точном приближении можно пренебречь членом порядка р2. Тогда для изменения частоты получается формула, которой обычно и пользуются при физических измерениях:
v = v (1 — и/с). (7.38)
Соотношение (7.38) устанавливает линейную зависимость между v'/v и р = и/с. Следовательно, продольный эффект Доплера является эффектом первого порядка. Пользуясь упрощенным соотношением (7.38) и вводя обозначение Av = v — v, получаем выражение, в котором в явном виде фигурирует доплеровский сдвиг частоты Av как функция р = v/c, а именно
Av/v = —v/c. (7.39)
Учитывая, что dv/v = —dX/X, его можно записать в виде
АХ/Х = v/c, (7.39а)
где АХ = X — X.
384
Очевидно, что сдвигу в область более длинных волн (v' < v, X' > X, красное смещение) соответствует положительная относительная скорость приемника и излучателя (и > 0), т.е. источник и приемник электромагнитных волн удаляются один от другого. При фиолетовом смещении (V > v, Х‘ < X) происходит сближение источника и приемника света. Ниже эти соотношения проиллюстрированы примерами из астрофизики.
Рассмотрим теперь возникновение поперечного эффекта Доплера. Пусть плоская волна распространяется вдоль OZ', а относительная скорость двух инерциальных систем направлена вдоль ОХ (ОХ1).
Предположим, что в системе X, Y, Z, связанной с излучателем, нормаль п к исследуемой волне составляет некоторый угол у с направлением OZ (рис. 7.11). Запишем уравнение волны в системах X, Y, Z и X, Y, Z':
Е = Re-EoexPt^Tiv'^' — г’/с)],
zcosy+xsiny
Е — Re?0exp
i2nv
(7.40)
(7.41)
Применяя к соотношению (7.40) преобразования Лоренца, имеем
Е = Re?oexP
i2%v
t—(v/c2)x z
Vl— (i»/e)2 с
= Re?0exp
271V ’ zVi—Р2 +ЗСр
у/1— р2 с
(7.42)
Сравнивая (7.42) и (7.41), получаем закон преобразования частоты в данных условиях в виде
v = -=== , или v’ = vVl—. (7.43)
V 1-р2
Разлагая правую часть (7.43) в ряд и ограничиваясь членом
второго порядка по р, находим Av/v = —Р2/2, где Av = v* — v.
Следовательно, смещение спектральной линии
Av/v = -р2/2, или АХ/Х - р2/2, (7.44)
где Av = v’ — v, АХ = X — X.
385
Соотношение (7.44) показывает, что при фиксации прямого угла между п и v в системе, связанной с приемником света, поперечный эффект Доплера должен приводить к красному смещению
(АХ > 0).
Проведенное рассмотрение, которое и привело нас к выражениям (7.43) и (7.44), базировалось на Л___ исходном положении, что напра-
вление п распространения волны
о X' о X перпендикулярно скорости v при-
емника или излучателя при изме-7.11. К вопросу о поперечном рении этого угла в системе X у1, Z', эффекте Доплера Связанной С приемником, ЧТО обы-
чно удобно при сравнении теории с данными опыта. Если потребовать, чтобы угол между п и v был прямым в системе X, Y, Z, связанной с излучателем, то получится другой результат.
Действительно, запишем снова уравнение волны в системе координат X, Y, Z при n ± v:
Е = Re?oexP[i27tv(i — z/c)] .
Если, используя преобразования Лоренца, перейти от системы X, Y, Z, к X\ Y, Z', то получится
