Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Из преобразований Лоренца имеем:
At'+(v/c2)Ax' Ax'+vAt'
dt = ... ; -— , dx = — .
Vl—(у/с)2 VI—(и/с)
Тогда
dx dx'+udf' _ Ax'/At'+v _
Uyc di At‘+(v/c2)Ax l+(v / c2)(Ax / At') 1+vux/c2
Заметим, что скорости uy и иг связаны со скоростями и'у и иг не столь просто, как у с у и г с г . В самом деле,
= Ау_ = dyVl (у/с)2 = u'y'll— р2
Uy di At'-\-(v/c2)Ax 1+vu'x/c2
Аналогичное выражение получается и для иг. Из последнего соотношения следует, что иу зависит не только от значения иу, но и от значения их. Конечно, все эти формулы не должны про-
380
тиворечить постулату Эйнштейна, согласно которому скорость света в вакууме должна оставаться одинаковой в обеих инер-циальных системах (XYZ и X'YZ). В этом легко убедиться, подставив в (7.25), например, и'х = с. Тогда их = (с + »)/[1 + + (и/с2)с] = с.
Для истолкования опыта Физо (см. § 7.1) не нужны преобразования иг ¦* и2 и иу ¦* и'у, поэтому не будем заниматься более подробным рассмотрением релятивистской кинематики. Введем обозначения: их— измеряемая на опыте скорость света относительно установки, т.е. в лабораторной системе координат; их = = с/п — скорость света относительно воды; v — скорость переносного движения воды.
Оценку произведем, пренебрегая (v/c)2, т.е. учитывая только эффект первого порядка относительно р = v/c, что соответствует точности проводившихся измерений. Тогда
_ u'x+V _ (c/n)+v Ux 1+ux(v/c2) 1+v/(cn)
* (c/n + u)[l — u/(crc)] и c/n + u(l — 1/и2). (7.27)
Это соотношение полностью согласуется с рассмотренными ранее экспериментальными результатами. Отметим, что при его выводе не делалось никаких предположений об увлечении эфира и оценки целиком следовали из формул специальной теории относительности. Соотношение (7.27) можно уточнить, если учесть изменение показателя преломления с длиной волны. Проверка уточненной формулы была проведена Зееманом в 1914 г. и показала полное согласие теории и эксперимента.
Не будем последовательно излагать релятивистскую динамику и ограничимся лишь упоминанием о чрезвычайно важном вопросе — связи между энергией и импульсом.
Как показал Эйнштейн, основное уравнение динамики может
« dp
быть записано в прежнем виде f = —, однако импульс и энер-
d t
гия релятивистской частицы выражаются через ее скорость v и массу т соотношениями
р = т\/ V1 —р2, (7.28)
W = mc2/V 1—р2 + U (г), (7.29)
где U(r) — потенциальная энергия. Из этих соотношений следует, что для свободной частицы [U(r) = 0]
381
Wz/c2 — p2 = m2c2 или W = Vm2c4 + p2c2
(7.30)
При v -> 0 (т. e. p <*: тс) последнее выражение можно разложить в ряд по малому параметру р/(тс) и тогда
W = тс2 + р2/(2т) . (7.31)
Следовательно, релятивистская энергия W равна сумме кине-тической энергии [р2/(2т)~\ и энергии покоя (тс2).
В элементарных процессах, протекающих в замкнутой системе, сохраняются неизменными полные энергия и импульс, а суммарная масса может изменяться. В частности, распад
частицы массы М на частицы с массами mi и m2 возможен, когда
М > (mi + т2). Тогда
(М - mi - т2)с2 = AM с2 = ^кин1 + ^кин2 . (7.32)
Следовательно, энергия АМс2 равна сумме кинетических энергий частиц, возникающих в процессе распада. Это соотношение играет важную роль в ядерной физике, указывая источник энергии при процессах деления ядер. В то же время если М < (mi + + m2), то реакция может идти в противоположном направлении, обеспечивая термоядерный синтез. Соотношение (7.32) показывает, какая громадная энергия сосредоточена в атомном ядре. Если исходить из среднего значения дефекта масс, примерно равного 0,006 единицы массы на один нуклон, то окажется, что при объединении этих частиц в ядре выделяется энергия, достигающая около 6 МэВ на один нуклон, что в несколько миллионов раз больше энергии обычных химических реакций (1 — 2 эВ на атом водорода).
Соотношения (7.28), (7.29) имеют непосредственное отношение к кругу оптических проблем. Достаточно указать, что без их использования нельзя сформулировать понятие фотона — своеобразной частицы, играющей основную роль в квантовой оптике (см. § 8.5).
§ 7.3. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
При рассмотрении интерференции света (см. гл. 5) указывалось, что во многих практически важных случаях (например, при свечении плазмы низкого давления) уширение спектральной линии в основном определяется изменением наблюдаемой частоты, связанным с хаотическим движением излучающих атомов. Такое уширение линии, легко наблюдаемое на опыте, является
382
следствием эффекта, играющего существенную роль в современной физике и по-разному проявляющегося при изменении условий эксперимента. Этот эффект был предсказан X. Доплером (1842 г.) для сугубо частного случая распространения акустических волн, целиком объясненного с позиций классической физики. В оптическом диапазоне его впервые наблюдал Физо, заметивший смещение спектральных линий в излучении некоторых небесных светил. В лабораторных условиях впервые наблюдения изменения частоты спектральных линий при отражении света от движущегося зеркала были осуществлены А.А.Белопольским в 1900 г. Значительно позже был обнаружен поперечный эффект Доплера и найдено экспериментальное доказательство этого явления, предсказанного теорией относительности.
