Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Y, Z и X1, Y, Z?, которые в начальный момент времени совпадали, а потом раздвинулись на отрезок vt (рис. 7.9). Если в момент t = 0 в центре (0 = 0) была создана сферическая волна, распространяющаяся в вакууме во все стороны со скоростью с, то по прошествии времени t будут наблюдаться две сферические волны с центрами в О и О'.
В этом неправильном рассуждении игнорировалась необходимость синхронизации часов в двух исследуемых системах. Как уже указывалось, t & t'
и на опыте всегда наблюдается одна сферическая волна. Для
того чтобы сферическая волна оставалась сферической при переходе от одной системы к другой, должны соблюдаться соотношения:
х2 + у2 + z2 = c2t2 (система X, Y, Z, t),
х'2 + у'2 + z2 = сЧ2 (система Х“, Y, Z', t). (7.12)
Очевидно, что
7.9. К вопросу о синхронизации часов в двух инерциальных системах
375
х2 + у2 + z2 — c2t2 = x2 + у2 + z'2 — c2t'2 = 0. (7.13)
Величину ^x^+y2+z2—c^t2 называют интервалом. Она играет важнейшую роль в специальной теории относительности. Нетрудно показать”, что, допуская однородность и изотропность пространства, для любого события, определяемого координатами х, у, г и моментом времени t в одной из инерциальных систем и координатами х, у, г и моментом времени t' в другой, можно записать соотношение
х2 + у2 + z2 — c2t2 — х'2 + у2 + z'2 — c2t2. (7.14)
Следовательно, интервал времени инвариантен при переходе от одной инерциальной системы к другой. Таким образом, устанавливается важнейшее следствие постулатов Эйнштейна, заключающееся в том, что пространство и время связаны между собой, образуя четырехмерное пространство — время.
Указанное свойство (инвариантность интервала при переходе от одной инерциальной системы к другой) можно использовать для получения формул, связывающих координаты и время в одной инерциальной системе с координатами и временем в другой инерциальной системе. Эти соотношения были впервые получены Лоренцем из необоснованного требования инвариантности уравнений Максвелла. В специальной теории относительности они получаются как прямое следствие сформулированных выше постулатов, а сокращение тел в направлении движения и изменение промежутков времени следует из самих преобразований . Таким образом, выявляется значение открытия Эйнштейна: путем глубокого анализа исходных посылок он превратил разрозненные и противоречивые наблюдения и гипотезы в стройную и законченную теорию, значение которой трудно переоценить .
Вернемся к рассмотрению двух инерциальных систем (см. рис. 7.1), относительная скорость v которых направлена вдоль ОХ (О'Х). В начальный момент времени (t = 0, t' = 0) точки
О n O' совпадают. Для координат у и г преобразования будут предельно простыми, так как относительное движение вдоль OY и OZ не происходит, т.е.
у = у, г = г. (7.15)
Наиболее общее линейное преобразование, связывающее х, t с х, t, имеет вид
"См., например: Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория поля. М., 1967.
376
X
а\х + azt, t = b\t + b2X.
(7.16)
Коэффициенты aj, a2, b\ и &2 зависят от у и при v -* 0 имеют следующие предельные значения:
Иш
D->0
аг fl'l
а2 0
h - 1
р2 0
(7.17)
Положение 0\х = 0) в системе X, Y, Z, t определяется уравнением х = vt. Отсюда следует, что в соотношениях (7.16) а,2 = = —vai. Подставляя (7 .16) в (7 .14) и считая выполненным условие (7.15), находим
(ai* + a^t)2 — c2(b\t + b2x)2 = x2 — c2t2.
(7.18)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимых переменных (х2, xt, t2), получаем систему трех алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов а\, Ь\ и &2 • Решение этой системы:
а\ = Ьг = .1 , Ъ2 = — (v/c2)ai. (7.19)
VI—v^/c1
Подставляя (7.19) в (7.16), получаем окончательную форму преобразований Лоренца, связывающих координаты в двух инерциальных системах, движущихся одна относительно другой равномерно и прямолинейно с относительной скоростью v, направленной вдоль оси ОХ (О'Х), а именно:
х—vt VI—v2/c2
У = У> 2
г, t
t—(v/c2)x
Vl—v2/c^
(7.20)
Очевидно, что x, у, z, t можно выразить через штрихованные переменные. Это достигается простой заменой v на —v в формулах (7.20) и перестановкой штрихов:
x+vt
V1—v2/c2
, у = у, г = z, t =
t'+(v/c2)x Vl—v2/c2
(7.21)
Такой же результат легко получается при решении системы уравнений (7.20) относительно переменных х, у, z, t.
Подчеркнем, что преобразования Лоренца (7.20), (7.21) по-
377
лучены здесь как прямое следствие постулатов специальной теории относительности без априорных требований о сокращении линейного размера тел в направлении движения.
Из анализа преобразований Лоренца можно сделать следующие существенные выводы:
1. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, базирующихся на постулатах, обобщающих результаты оптических и электрических экспериментов. Непосредственная проверка подтверждает это заключение.
2. При v <к: с (т.е. когда р -> 0) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Следовательно, механика Ньютона, уравнения которой инвариантны относительно преобразований Галилея, справедлива лишь для v « с. Для больших скоростей нужно сформулировать уравнения новой релятивистской механики, инвариантные относительно преобразований Лоренца и переходящие в уравнения Ньютона при р ¦* 0.
