Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
(sinN<3/sin<3)
ft
-X/d
Ап..пЛ/1\Ал..лА
а)
0
6)
X/d sin <р
6.35. График функции (sinNd/s\nd)2-. N = 2(a); N = 8(6)
этих двух кривых очень различны, так как они нормированы введением множителя 1/N2 из-за невозможности изобразить увеличение интенсивности главных максимумов в N2 раз. При увеличении числа дифрагировавших пучков (заметим, что в современных дифракционных решетках N достигает значения 200 000) главные максимумы становятся очень резкими и разделены широкими промежутками, где интенсивность света можно считать равной нулю.
До этого использовалась лишь одна характеристика интерференционной картины — функция видимости
У (-^макс ^мин)/ (/макс ^мин) .
При дифракции плоской монохроматической волны на правильной структуре видимость равна единице как в случае N = 2, так
294
A—dsimp-dsind
a)
A-dsinip+dsind
6)
и при очень больших N. Очевидно, что необходимо использовать какую-то дополнительную характеристику, учитывающую различную резкость интерференционных полос и связанную с ней возможность раздельно наблюдать два максимума. В § 6.6 введено понятие разрешающей силы, а сейчас ограничимся лишь констатацией зависимости резкости дифракционной картины от числа интерферирующих пучков.
Хорошо иллюстрируют исследуемую зависимость простейшие дифракционные решетки с постепенно возрастающим числом щелей при осве- , . _.
щении их светом ртутной дуги. 8 |\ \
При N » 100 наблюдаются довольно расплывчатые максимумы. Разрешение по длинам волн отсутствует. Увеличение числа интерферирующих пучков в 10 раз приводит к появлению по обе стороны от центрального пятна четких максимумов . Наблюдается ряд линий, составляющих характерный спектр ртути.
В этом опыте проявляется также следующая характерная зависимость: чем меньше d (постоянная решетки), тем больше угловое расстояние между главными максимумами. Способность дифракционной решетки «развести» излучение двух определенных длин волн на некоторый угол также служит ее важной характеристикой (дисперсией), которую тоже следует ввести при количественном описании (см. §6.6).
Полученные выражения легко распространить и на случай падения плоской волны на дифракционную решетку под некоторым углом. Обозначим через 0 угол между направлением пучка и направлением нормали к решетке. Тогда (рис. 6.36,а) для возникновения главных максимумов вместо dsincp = тХ получается условие d(sincp — sin9) = тХ, непосредственно следующее из вычисления разности хода Д для двух интерферирующих лучей. В дальнейшем подробно рассмотрены отражательные дифракционные решетки (рис. 6.36,6), выражение для разности хода которых следует записать в виде
6. 36. Косое падение плоской световой волны иа дифракционную решетку
За положительное направление углов принят поворот по часовой стрелке
d(sincp + sin9) = тХ.
(6.52)
Учтем теперь тот вклад в распределение интенсивности (6.49), который вносит каждая щель. Для этого необходимо исследовать,
295
как ведет себя функция (sinи/и)2 при выполнении условия (6.5Q), что позволит получить относительные интенсивности главных максимумов в разных порядках дифракции. Проведем простые преобразования. По определению, и = лЬэтфД. Вместе с тем
вшф = rrik/d, откуда и = ^= пт —. Тогда
К и и
Г sinu = d2sin2(nmb/d) v и ' п2Ь2т2
Для главных максимумов lim |sinM>/sin8| = N. Отсюда интенсивность m-го главного максимума
Im - h - hN2# 5Ш,2(;"Ь/‘<) . (6.53)
т ^ и ) sin25 0 Ь2п2т2
Анализ этой формулы приводит к следующим выводам:
1. Im ~ 1/т2, т. е. с увеличением порядка дифракции резко уменьшается интенсивность соответствующего главного максимума . В дальнейшем показано, что при использовании некоторых специальных приемов можно изменить эту зависимость и добиться того, чтобы основной поток энергии дифрагировавшего света концентрировался в каком-то определенном направлении. Это достигается в решетках с профилированным штрихом. Но пока будем исходить из соотношения 1т ~ 1/т2.
2. Интенсивность света в т-м максимуме существенно зависит от отношения b/d. Действительно, при (b/d)m = т, где т — целое число, выражение (6.53) обращается в нуль, так как sinnm' = 0. Отсюда следует, что интенсивность света в этом главном максимуме равна нулю. Вспоминая, что условие возникновения минимума излучения при дифракции на одной щели имело вид ЬвШф = тк, замечаем, что данный случай соответствует совпадению условий возникновения главного максимума дифракционной картины на N щелях и минимума дифракции на каждой щели. Так, например, при b/d — 1/4 выпадает каждый четвертый максимум в дифракционной картине (рис. 6.37).
Итак, при дифракции плоской волны на правильной структуре из N щелей относительная интенсивность максимумов суммарной дифракционной картины обусловлена как зависимостью Im ~ Vт2, так и отношением ширины каждой щели b к постоянной дифракционной решетки d. Резкость максимумов определяется числом щелей N, а интенсивность каждого из- них пропорциональна N2.
Это обобщение результатов относится к классу амплитудных решеток, которые в современной технике эксперимента заметно
296
