Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Учтем также, что поворот вектора на п/2 эквивалентен умножению его модуля на i. Следовательно, наличие комплексного отношения составляющих Еу/Ех у волны свидетельствует об эллиптической поляризации излучения. Преобразуя систему четырех уравнений (1.17), в которую входят проекции Е и Н, в систему (1.18), получающуюся при закреплении направления колебаний этих векторов, мы переходим от эллиптической поляризации к линейной: Е = Ех, Н = Ну. Соответствующая экспериментальная процедура с использованием пластинки Х/4 описана в гл. 3.
§ 1.2. ПЛОСКИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ И ВОЗМОЖНОСТЬ ИХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ
Основные свойства электромагнитных волн (поперечность и ортогональность векторов Е и Н) были получены в § 1.1 из прямого анализа уравнений Максвелла, причем молчаливо предполагалось, что существование электромагнитной волны бесспорно. Для более строгого доказательства того, что электромагнитное поле распространяется в виде волны, покажем, что из уравнений Максвелла для однородной непроводящей среды следует волновое уравнение.
26
?>удем по-прежнему рассматривать одномерную задачу, т. е. считать Ну = Н и Ех = Е, где Е и Н зависят лишь от г и t. Это ограничение скажется лишь на свойствах волн (что будет подробно обсуждено ниже), но не имеет отношения к поставленному вопросу об их существовании. Будем исходить из уравнений
(1.18). Продифференцировав первое уравнение по f и умножив на ц/с и продифференцировав второе по переменной г, найдем
___ц д2Н = щ д2Е_______________ц. д2Н = д2Е
с dzdt с2 dt2 ’ с dtdz дг2 ’
откуда
д 2Е с2 д 2Е
dt2 ец dz2
(1-19)
Аналогично можно получить дифференциальное уравнение для напряженности магнитного поля электромагнитной волны:
д2Н г2 д2Н
-«г -?-!?• <1-20»
Следовательно, как Е, так и Н удовлетворяют одному и тому же уравнению
= и2 (1 21)
dt2 dz2 ' 1 }
Это и есть волновое уравнение. В математической физике доказывается, что оно не имеет других решений, кроме функций вида f(t±z/u) и их суперпозиции. Параметр и в данном решении есть скорость распространения волны вдоль оси Z. Таким образом, мы доказали, что электромагнитное поле распространяется в пространстве в eude волн. Из сопоставления уравнений
(1.19)—(1.21) имеем
и = -ji= , (1.22)
V ец
т. е. получаем известную формулу Максвелла.
Величина п = 'Гцх = с/и называется показателем преломления среды. В рамках электронной теории физический смысл этой важнейшей величины связан с колебаниями электронов и ионов под действием световой волны, распространяющейся в исследуемой среде, чем и объясняется наблюдающаяся на опыте зависи-
27
мость показателя преломления от длины волны (см. гл. 4). В классической электромагнитной теории столь формально вводимый показатель преломления считается константой, определяемой значениями е и ц для исследуемой среды. В вакууме е = (I = 1 и, следовательно, и = с. Распространение волны и в этом случае происходит не мгновенно, а с конечной, хотя и очень большой, скоростью. Вопросы об экспериментальном определении скорости электромагнитных волн и согласии с опытом выражения и — с/п см. в §1.4. Заметим также, что магнитное поле Н распространяется с той же скоростью и — с/п [уравнения (1.19) ц (1.20) однотипны] . Этого и следовало ожидать, так как распространение векторов Е и Н в виде электромагнитной волны есть единый процесс.
В векторной форме волновое уравнение может быть записано в виде
72Е Е . (1.23)
с2
Аналогичный вид имеет уравнение для магнитной составляющей Н. Как известно, значок V2 соответствует дополнительному дифференцированию по координатам векторного оператора
"набла": 7= i— + j — + k— . При записи волнового урав-дх д у дг
нения одномерной задачи, когда исследуемая функция зависит от одной координаты и времени, например Е = E(z,t), оператор V2 эквивалентен хорошо известному символу д2/дг2 и уравнение (1.23) переходит в формулу (1.19).
Вернемся теперь к выявлению тех ограничений, которые связаны с введенными выше упрощениями в постановке задачи. Выше уже указывалось, что закрепление направления колебаний векторов Е и Н соответствует переходу от эллиптической к линейной поляризации электромагнитной волны. Постановка одномерной задачи [Е = <р(г,#)] фактически означает использование плоских волн. В этом случае излучению с плоским волновым фронтом соответствует в оптике параллельный пучок лучей. Отклонимся от вопроса о том, сколь реально экспериментальное осуществление плоской волны, и исследуем подробнее ее свойства.
Выше указывалось, что в общем случае плоская волна описывается функцией вида f(t ± г/и). Наиболее простым, но важным частным случаем такой волны является волна, возникающая в результате гармонического колебания, которая записывается следующим образом:
Е = Eq cos cd (t — г/и).
Это и есть выражение для плоской линейно поляризованной
28
монохроматической волны (cd = const), и его можно записать любым из приводимых ниже способов:
Е = Ео cos(mt — = Eq cos(cat — ^~z) = Eq cos(mf — kz),
где k = 2n/X — волновое число.
Здесь приводятся эти элементарные преобразования, так как в дальнейшем будут использованы различные формы записи уравнения плоской монохроматической волны. Удобна запись и в виде
