Специальные функции математической физики - Кафтанова Ю.В.
ISBN 978-966-2046-62-5
Скачать (прямая ссылка):
Частицы воздуха поднимаются вверх не так быстро, как это происходит во внешней окрестности, описывая при этом вихревые циркуляции. Данные циркуляции могут быть представлены через функции Бесселя.
Наибольшую сложность представляет задача параметризации самой конфигурации хобота ударной волны. Введем в рассмотрение функцию максимумов, которая обозначается:
J4m(x) = max !MV (x)
при некотором значении V
Она показывает значение максимума, который достижим в точке х для некоторой функции Неймана параметра V. Это возможно потому, что функции Неймана могут рассматриваться как непрерывные функции своих параметров, а также благодаря тому, что между двумя максимумами (или нулями) функции некоторого параметра лежит максимум (или нуль) параметра, отличающегося на единицу.
Аналогично ведут себя функции Бесселя, можно ввести следующую функцию:
Ограниченные в нуле функции Бесселя, повернутые на девяносто градусов
Неймана функции
поэтому
Jm(x) — max Jv(x) при некотором значении V
Она показывает значение максимума, который достижим в точке X для некоторой функции Бесселя параметра V.
Введенные функции существуют и ведут себя как монотонные функции. Функции Бесселя и Неймана являются обобщением тригонометрических функций в цилиндре на общий случай идущих с затуханием физических процессов (часто в неограниченных или больших областях). Эти функции обрисовывают поверхность циркуляций. 156
Замыкающиеся процессы (например, волновые в цилиндре) описываются при помощи функций Бесселя и Неймана целых индексов, так как в случае нецелых индексов функции не моделируют замкнутые процессы — и это именно то, что нам нужно. Мы моделируем фазовые траектории функциями, в которых присутствует непрерывно изменяющееся значение параметра V.
Рассмотрим поведение практически не имеющих веса молекул воздуха и пыли, которые вовлекаются в круговорот вращения и обрисовывают поверхность ударной волны.
Совершив полный оборот вокруг центра торнадо и поднявшись вверх, модель переходит с параметра V на параметр V — 1. При этом радиус постепенно возрастает.
У автора нет практических данных, чтобы сделать уверенное предположение о том, что полные обороты невесомых частиц воздуха и пыли в зоне вихревой ударной волны совершаются за равные временные интервалы — но автор выдвигает гипотезу, что и возле земли, и возле облаков невесомые частицы оборачиваются вокруг центра торнадо за равные промежутки времени.
Если же объект имеет существенную массу или он несколько удален на некоторое расстояние от поверхности вихревой ударной волны, на него будут оказывать влияние и вес, и торможение об воздух. Поэтому скорость вращения объекта будет постепенно замедляться, а время совершения полного оборота — увеличиваться по мере подъема.
Если бы частицы торнадо двигались вдоль поверхности простейшего кругового цилиндра (кругового конуса бесконечной высоты), их фазовую траекторию можно было бы задать параметрическим уравнением:
x = Vq cos j y = Vq sin j z = h j / 2p
где Vq — радиус цилиндра и h — высота.
В цилиндрических координатах это параметрическое уравнение выглядит еще проще:
V = Vq = const при всех значениях угла j
z = h j / 2p
157
Если бы частицы торнадо двигались вдоль поверхности простейшего кругового конуса (как это иногда рисуют в голливудских фильмах), их фазовую траекторию можно было бы задать параметрическим уравнением:
x = (го + a j) cos j y = (r0 + a j) sin j z = h j / 2%
где f*o — начальный радиус и h — высота.
В цилиндрических координатах это параметрическое уравнение выглядит еще проще:
Г = Го + a j — радиус при значениях угла j z = h j / 2% — высота при обороте на j
В нашем случае сложную фигуру вращения (хобот, столб торнадо) формирует континуум максимумов функций Неймана 34m(x) с непрерывно меняющимися параметрами V и переменной X, которые вращаются вокруг центральной оси торнадо — в цилиндрических координатах. Причем каждой точке x соответствует единственный параметр V.
Мы будем строить такую дискретную модель, которую можно непосредственно использовать для компьютерных вычислений. Разобьем один полный оборот на 2%, который совершает частица воздуха или пыли вдоль ударной волны, на n равных дискретных частей — секторов.
Aj = 2% / П — радиус сектора.
Полный оборот на 2% частица на пыли или воздуха совершит между максимумами функций Неймана параметров V и соответственно V—1. Они достигаются в интервале переменной между Xo и Xi, причем Xo > .
Г о = 3^m(X о) — при значении индекса V Г j = 3^m(X — при значении индекса V—1
Между этими двумя значениями можно записать: Z = X о — k (X о — X i) / П — при k итерации. Г = J4m(X о — k(X о — X j ) / n) j = k Aj = 2%k / П
158
Каждый полный фазовый оборот должен описываться различным количеством итераций. Чем ближе к нулю и началу координат, чем меньше значения индекса функций Неймана, тем больше число П должно быть выбрано и тем большее количество численных расчетов производиться для каждого отдельного витка.
Если мы производим расчеты с шагом А X , тогда
