Специальные функции математической физики - Кафтанова Ю.В.
ISBN 978-966-2046-62-5
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем мы будем игнорировать оператор изгиба и предполагать, что столб торнадо ровный. Оператор изгиба является достаточно изученным математическим объектом в прикладных моделях и исследованиях, его можно успешно моделировать как на компьютере, так и в физических экспериментах и опытах даже дома.
Торнадо осуществляет свое движение в глобальном окружении по закону сохранения энергии — от областей с повышенным атмосферным давлением к областям с пониженным давлением.
Торнадо двигается вдоль градиентов к изобарам в сторону областей с пониженным давлением. Изобары — линии, обозначающие линии с одинаковым давлением.
Траектория движения торнадо должна быть перпендикулярна пересекаемой им изобаре строго в точке ее пересечения — и именно строго в конкретный момент времени. Функция градиента изобары дает самый короткий путь от области высокого к области низкого давления (с точки зрения затрат энергии системы на движение).
Это обеспечивает закон возрастания энтропии.
Изобары в нормальных атмосферных процессах глобального характера — гладкие кривые, имеющие непрерывные первые производные, которые либо не пересекаются, либо совпадают.
Процесс построения возможных фазовых траекторий движения торнадо может носить дискретный характер — расчет ведется от изобары к изобаре — наподобие модели движения камней в Долине Смерти в США (первая глава настоящей книги).
Начальный импульс движения торнадо — его скорость и направление — задается местом, в котором торнадо начал формироваться, изобарами и формируемым давлением в конкретной пространственно-временной точке.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать процесс движения торнадо, который является прямолинейным, а сам столб торнадо — неизогнутый.
Фазовая траектория движения торнадо пройдет по градиентам к изобарам — от области высокого к области низкого давления и зависит исключительно от внешних факторов. В математической модели фазовая траектория должна быть приведена к прямой линии методом замены переменных. Будет использоваться система координат, которая движется вместе с центром торнадо, и направление оси которой совпадает с касательной к фазовой траектории — то есть градиентом к пересекаемой изобаре.
152
Таким образом, ветер как таковой влияет только на изгиб и деформацию формы хобота или столба торнадо при условии, что его ветровой нагрузки для этого достаточно. Ветер является локальным фактором.
Глобальная картина расположения изобар, областей высокого и низкого атмосферного давления в момент прохода торнадо покажет фазовую траекторию движения торнадо до тех пор, пока он не распадется. Метеорологическая карта является глобальным фактором.
Поскольку глобальная метеорологическая картина на большой территории существенно не меняется в течение времени жизни торнадо, метеорологические данные для торнадо можно считать неизменными. Это позволит оценить фазовую траекторию движения торнадо и ее вероятности при помощи простых численных методов только на основе статистической метеорологической карты.
Выполнен поворот системы координат на девяносто градусов
Графики функций Неймана Л^„ (л:) и ЛГД (х)
Теория обобщенных функций и ряд прогрессивных теоретических обобщений конца XIX — XX века утверждают, что можно построить приближенную математическую модель системы только по набору дискретных данных и выбранной системе полных ортогональных функций.
Проблема выбора системы функций является одной из наиболее сложных. Если поведение функций данной системы значительно отклоняется от поведения физической модели, сходимость математической модели с использованием численных методов будет очень плохой — вплоть до практической невозможности их использования. 154
Хотя чисто теоретически данные функции обеспечивают сходимость модели, ее практические характеристики оказываются крайне неудовлетворительными.
Если же функции, по которым производится разложение, ведут себя достаточно хорошо и похоже на то, что происходит в реальности, при этом образуя полную ортогональную систему на заданном конечном или бесконечном интервале — возможно, с некоторым весом — их практическое использование будет обеспечивать хорошую или почти идеальную сходимость математической модели при очень малом числе членов ряда разложения. А это значит, что применение численных методов и компьютерных вычислений становится реальным.
Рассмотрим фазовую траекторию движения видимого материального объекта в столбе торнадо — объект поднимается с земли, все время описывая расходящиеся круги. Обратим внимание на форму неизогнутого торнадо на фотографиях. Если рассматривать фазовую траекторию движения видимого объекта в двумерной проекции, то она напоминает цилиндрические функции Неймана в повернутой системе координат, причем движение объекта осуществляется в сторону нуля системы координат.
Круговое движение и циркуляции описываются тригонометрическими функциями, которые также образуют полную ортогональную систему функций на отрезке. Используются цилиндрические координаты.
155
Внутри столба торнадо образуется область пониженного давления, ограниченной от внешней среды поверхностью вихревой ударной волны.
