Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кафтанова Ю.В. -> "Специальные функции математической физики" -> 38

Специальные функции математической физики - Кафтанова Ю.В.

Кафтанова Ю.В. Специальные функции математической физики — Х.: Новое слово, 2009. — 596 c.
ISBN 978-966-2046-62-5
Скачать (прямая ссылка): specfuncmatfiz2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 60 >> Следующая

0,5.
-0,54-
-1,0
Неограниченные в нуле функции Неймана
117
0
1,0
0,5
-0,5 J
Ограниченные в нуле функции Бесселя
По мере значительного удаления от начал координат функции Бесселя и Неймана стремятся к нулю, совершая колебания вдоль оси Ох, причем период этих колебаний стремиться к периоду колебаний синуса и косинуса. На удалении от начала координат асимптотическое поведение решений уравнения может быть представлено как: m
u(r)=^ r~ ~ 1/2 {ук sin r + Wkcos r )
k=0
В практических задачах обычно не рассматривают и не вычисляют значения цилиндрических функций на значительном удалении от начала координат, так как их компьютерные вычисления через разложения в ряды вырождается в ноль. По этим же причинам очень редко используют эти функции при больших значениях индекса. Асимптотическое поведение таких функций очень сложное, оно было подробно описано в монографии Ватсона.
Цилиндрические функции малого индекса вблизи начала координат обеспечивают очень хорошие показатели сходимости реальных волновых процессов, для их превосходного моделирования достаточно использовать первые 3-4 собственные функции при разложении в ряд.
В начальный момент времени поверхность получает заданное начальными условиями отклонения и скорости, описываемые краевыми условиями:
и (г, р, ^ \г_ = /(г, р) — отклонение
д и | / >
—— \г _ 0 = ™ (Г, р) — скорость
Мембрана — бесконечная круглая пластинка. Существует еще одно дополнительное условие:
и (г, р, ^\ = О
отклонений в точке r0 нет.
Краевому условию на участке мембраны можно удовлетворить, потребовав выполнения условия
]п(кГо) = О и получив из этого отношения к.
Очевидно, что данное уравнение по к имеет бесконечное множество решений, при которых кг0 должно принимать значение корней функции Бесселя.
Обозначив множество нулей функции Бесселя как
¦Ада мы получим, что к может принимать только следующие
значения к = IГо где т = 1, 2, 3 ... и П — индекс.
Для того, чтобы удовлетворить общим начальным условиям, нужно использовать линейные комбинации всех возможных решений при всех допустимых значениях установленных параметров, или иными словами — обобщенные ряды вышеуказанных функций.
Колебание мембраны будет результатом наложения гармонических колебаний, соответствующих функциям и(т
Это можно записать в виде двойного ряда:
то то
и (г, р, ^ = 2 2 и (% (г, р, ^
п_о т_ 1
нули функции Бесселя ] (х) = О
где A m
к(п) m
Am I r0
и выполняется следующее равенство:
119
0
118
um (r, p, t)= (o^cos (k?>ct) + a^sm (k?ht)). (ag>cos (np) + а<% sin (np)) Jn(k% r)
В рассматриваемом нами случае поведение системы изучается только в начальный момент времени и только вдоль распространения фронта волны. Поэтому
то то
У (r) = 2 2 a(nJ Jn (rl<nJl r0)
n = 0 m=1
где — нули функции Бесселя J (x) = 0
Следует заметить, что на практике наибольшее значение имеют только первые члены этого ряда, так как при росте значений параметров П и m значения функций Бесселя быстро стремятся к нулю.
И хотя теоретически решение волнового уравнения представляет результат наложения бесконечного множества колебаний с различными частотами и амплитудами, практически существенную роль играют только колебания, соответствующие начальным членам этого ряда.
Очевидно, что каждую из волн необходимо отдельно моделировать в зоне вынужденного колебания — профиль описывается уравнениями гидродинамики крыла, и отдельно — в открытой части океана, где колебания распространяются свободно по волновым законам (исходя из начальных условий, задаваемых гидродинамическим активным профилем).
Это одна из причин, почему цельную волну цунами не удается описать одним уравнением — каждому из двух уравнений соответствуют различные состояния системы.
На графиках приведены функции Бесселя первого, второго и третьего значения индекса. Разложение по этим функциям чаще всего производится в том случае, если край мембраны является закрепленным и колебательная функция обращается в ноль.
Мы рассматриваем систему волн цунами, которая движется относительно выбранной изначально неподвижной системы координат Ох. В момент времени Ї волны и следующие с ними центры систем их координат находятся на
расстояниях Лі и К.2 от эпицентра.
Зона Zi для R і < r < R і + Si
Зона Z2 для R 2 < Г < R 2 + S2
Зона Z* для R1 — S1 < Г < R1
Зона Z2* для R 2 — S2 < Г < R2
Зона Z3 для Г > R1 + S1
Зона Zo для R 2 + S2 < Г < R1 — si
Зона Z4 для Г < R 2 — S2
В зонах Х\ и Х2, 22 происходит (формирование профиля под действием законов гидродинамики крыла.
В зонах 2(), 2з и 24 — происходит формирование стоячих волн, которые описываются волновым уравнением и задаются начальными условиями, связанными с данными гидродинамической системы.
Сформировавшаяся на поверхности волна цунами распространяет вокруг себя возмущения, которые движутся вместе с самой системой и зависят только от показателей гидродинамической системы внутри волн цунами.
Haибoлee типичиыми и pacпpocтpaиeииыми являютcя цутами, кoтopыe движyтcя иa дoзвyкoвыx cкopocтяx и мoгyт ycпeшиo мoдeлиpoвaтьcя cиcтeмoй из двyx гипoтeтичecкиx cyдoв та пoдвoдиыx кpыльяx, кoтopыe пocлeдoвaтeльиo, oдии зa дpyгим иecyтcя пo пoвepxиocти oкeaиa. Moдeль oбтeкa-иия ^bma у пoвepxиocти дocтaтoчиo иeплoxo былa paзpa-бoтaиa учеиыми в XX веке и виeдpeиa в ^a^mey мaлoгo cyдoxoдcтвa вo вceм м^е.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed