Специальные функции математической физики - Кафтанова Ю.В.
ISBN 978-966-2046-62-5
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы рассчитываем график отклонения нагруженной поверхности, вызываемый статическим источником (с точки зрения выбранной системы координат), при помощи волнового уравнения в цилиндрических координатах, известных начальных условий и цилиндрических функций математической физики — причем исключительно в нулевой момент времени.
Так как две волны движутся достаточно далеко независимо одна за другой (по оси Ох), и каждая волна образует собственную волну на поверхности, формируемую над ее фазовым профилем и вызывающую волнение океана.
Деформации поверхности океана описываются классическими волновыми законами, поэтому результирующая кривизна поверхности океана в каждый из расчетных моментов времени будет результатом объединения двух полученных волн на всей числовой полуоси.
Таким образом, задача вычислений мгновенной траектории профиля поверхностной волны цунами оказалась сведенной к классической задаче математической физики о колебаниях закрепленной на концах нагруженной струны, в одной или нескольких точках которой помещены сосредоточенные массы.
В задаче цунами длина рассматриваемой струны окажется протяженной по сравнению с длиной нагруженного участка и низкой амплитудой колебаний, которую вызывают сосредоточенные на очень малом участке струны ненулевые массы (или одна масса).
Задача о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенными массами, находит широкое применение в математической физике и технике. Еще Пуассон решал задачу о продольном движении груза, подвешенного к упругой нити.
Особую актуальность задача подобного типа приобрела в связи с изучением вибрации крыльев самолета. Кроме того, рассматриваемая задача встречается при расчете собственных колебаний антенн, нагруженных сосредоточенными емкостями и самоиндукцией.
Существуют приближенные (численные) методы нахождения собственных значений и собственных функций задачи, аналогичных приближенным методам нахождения соответствующих величин для неоднородной струны. Эти методы реализуются с использованием специальных функций математической физики.
В задачах газодинамики, гидродинамики и теории ударных волн часто возникают задачи, характеризующиеся большими скоростями и высокими давлениями. В этом случае линейные аппроксимации (приближения) акустики непригодны, приходится иметь дело с нелинейными моделями. Серьезным шагом вперед является построение таких математических моделей процессов, при которых состояние системы сводится к линейным дифференциальным уравнениям — в частности, дифференциальным уравнениям второго порядка и оператору Лапласа, изучаемых современной математической физикой.
Для этого понадобилось детально изучить физику и механику процесса, выбрать удобную систему координат, ввести непрерывно-разрывную функцию потерь и фактически дискретизировать понятие времени. 115
114
В отличие от колебаний струн акустической гитары, глобальное поведение волн в океане не может быть описано методом разложения в ряды Фурье — по тригонометрическим функциям синуса и косинуса.
Для таких задач используется пополнение — специальные функции математической физики и волновое уравнение с оператором Лапласа:
А и + \1 и = 0 — описывает круговые процессы.
В задачах математической физики рассматривают такие решения волнового уравнения, которые описывают колебательные процессы. Это возможно в том случае, если постоянная |1 строго положительна.
При переходе к полярным координатам, которые мы фактически используем в данной задаче на плоскости, и рассматривая фактор времени (то есть гармонические колебания), мы получим такое уравнение:
— — (r —) + — — и r dr dr r2 dp2
1 д2и
c2 dt'
Для поиска решений дифференциального волнового уравнения используется метод разделения переменных и замена, рассмотренная в первой части издания:
и (г, р, г) = я(г) Ф(ср) Т(г)
Задача сводится к решению трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
d2R dr2
+
—1
r
—
r
+ (m — —) R(r) =
0
Ф''(р) + V2 Ф(р )= 0
Т ''(г) + т с2 Т(г)= о
Первое уравнение носит название волнового уравнения Бесселя, второе — волновое уравнение Штурма-Лиувилля.
Волновые процессы могут быть получены только при следующих ограничениях:
X = V2 1 0, т = к2 > 0, х = кг
116
и (r, р, t) = (a1 cos (kct) + a2sin (kct)) ( a3c0s (vр) + ai sin (vр) )(a5 J (kr)
+ a
¦H(kr))
где ai a2 a 3 a 4 a5 a6
произвольные константы. Их
значение зависит от конкретных краевых условий задачи.
Решение уравнения Бесселя представимо в виде линейной комбинации функций Бесселя, ограниченных на всей числовой оси и описывающих гармонические колебания, и неограниченных в нуле функций Неймана, которые возникают при описании волновых процессов с особенностями и аномалиями.
В случае, если мы изучаем решение дифференциального уравнения в начальный момент времени и вдоль направления радиуса (угол р отклонения от оси Ох нулевой), оно представляется в простом виде, и выражается через решения классического уравнения Бесселя:
y = и (r) = a Jv(kr) + b Nv (kr)
Приведем графики функций Бесселя и Неймана, и график, описывающий поведение функций Бесселя — программа вычисления была написана автором на языке JavaScript и выполнено попиксельное построение точных графиков (коэффициент растяжения по вертикали равен 4).
