На пульсаре - Кадомцев Б.Б.
ISBN 5-85504-013-5
Скачать (прямая ссылка):
нескольких колебаний успокоится в конце концов на донышке потенциальной
ямы. Это то же самое, что и переход к завтраку у Буриданова осла.
Итак, в конечном состоянии частица окажется либо в левом, либо в правом
минимуме потенциальной энергии (см. рис. 40). Происходит спонтанное
нарушение симметрии. Как видно из рис. 40, потенциальная энергия совсем
не похожа на параболу,
102 11. Нелинейность и самоорганизация
11. Нелинейность и самоорганизация
103
а сила, действующая на частицу, никак не является линейной. Напротив,
процесс спонтанного нарушения симметрии является существенно нелинейным.
А результат этого нелинейного процесса - достижение нового состояния,
сильно отличающегося от исходного даже с точки зрения такого
фундаментального свойства, как симметрия.
Спонтанное нарушение симметрии - это широко распространенный класс
нелинейных явлений в природе. Самый грандиозный процесс спонтанного
нарушения симметрии произошел в начальные моменты эволюции нашей
Вселенной. Как мы знаем, наша Вселенная состоит из частиц - нейтронов,
протонов, электронов, а не из античастиц: антинейтронов, антипротонов,
позитронов. Хотя ничто не мешало нашей Вселенной выбрать второй вариант -
оба они вполне симметричны. Выбор произошел путем спонтанного нарушения
симметрии - в полной аналогии с рис. 40.
Рис. 40. Ангармоническая потенциальная яма с двумя минимумами и
соответствующие бифуркации.
Можно привести массу других примеров спонтанного нарушения симметрии. Для
обсуждаемых нами проблем интересен пример появления магнитного поля.
Например, каждый домен ферромагнетика достигает минимума энергии, когда
он намагничен. Однако направление этого намагничения выбирается случайно
- путем спонтанного нарушения симметрии. Другой пример - магнитное поле
Земли или пульсара. Если даже допустить, что ось магнитного момента
каким-то образом устанавливается вдоль оси вращения, то направление
намагниченности, т. е. вдоль или против вращательного момента, выбирается
спонтанно.
104
11. Нелинейность и самоорганизация
Рассмотрим теперь более подробно переход от состояния (см. рис. 39) с
одной устойчивой точкой равновесия к состоянию (см. рис. 40) с двумя
положениями устойчивого равновесия. Для этого мы возьмем потенциальную
энергию в таком виде, чтобы она допускала наличие "горба" на фоне обычной
параболы, отвечающей квазиупругой силе. Например, пусть потенциальная
энергия равна:
U(x) = х2 + Р2( 1 + х2)^1.
Второе слагаемое описывает потенциальный "холм", а первое - потенциальную
"яму". Если изменять Р, то можно менять форму ямы, другими словами,
управлять кривой потенциальной энергии. Поэтому Р называют управляющим
параметром. Написанную выше функцию потенциальной энергии можно
представить в виде:
U(x) = ( д/l +х2---, Р 1 +2Р-1.
у д/1 + X2 )
Если Р < 1, то у этой функции имеется только один минимум в точке х = 0.
Но если Р становится больше единицы, то у функции U(x) появляется два
минимума: в точках, где выражение в скобках обращается в нуль. Таким
образом, точки минимума потенциальной энергии определяются соотношением:
1 + х2 = Р.
Наряду с параметром Р иногда вводят величину Рс - Р - 1 такую, что при Рс
< 0 имеется только один минимум, а при Рс > 0 -два минимума. Величину Рс
называют параметром порядка или параметром упорядочения.
Итак, при Рс > 0 кривая потенциальной энергии имеет два минимума, в то
время как при Рс < 0 - только один минимум. Точку Рс = 0 принято называть
точкой бифуркации, т. е. точкой, где начинаются "зубцы" вилки с двумя
зубцами.
В русских сказках существует часто повторяемый эпизод, представляющий
собой типичный пример бифуркации. Русский богатырь едет верхом на коне и
подъезжает к развилке дорог с большим камнем, на котором написано:
"налево пойдешь - коня потеряешь; направо пойдешь - голову потеряешь".
Русский богатырь, любящий своего коня - верного друга богатырских
подвигов, выбирает правую дорогу и выходит победителем в сражении со
Змеем Горынычем.
11. Нелинейность и самоорганизация
105
Теперь мы с Вами знаем, что бифуркация - это типично нелинейный процесс.
И не только Буриданов осел не раздумывая решил сложную загадку нелинейной
бифуркации. Бифуркации в физике встречаются на каждом шагу и разрешаются
столь же эффективно.
В качестве параметра порядка могут выступать самые различные величины.
Если, например, упорядочение происходит при понижении температуры, как в
случае ферромагнетика, то разность Тс - Т, где Тс - температура
упорядочения, является скрытым параметром упорядочения. А явными
параметрами порядка могут служить величина и направление магнитного
момента.
В неравновесных системах со сложными структурами параметры порядка могут
либо задаваться извне, либо создаваться одними частями структур по
отношению к другим их частям. Впрочем, состояние на рис. 40 само является
неравновесным в термодинамическом смысле этого слова. Я поясню вам, в чем
тут дело.
Существует раздел физики, который называется термодинамикой. В нем
