На пульсаре - Кадомцев Б.Б.
ISBN 5-85504-013-5
Скачать (прямая ссылка):
течения?
Оказывается, это вполне возможно. Дело в том, что движение жидкости хотя
и сложнее движения твердых тел, но является механическим движением и
поэтому оказывается легко доступным для теоретического описания. Для
этого жидкость нужно разбить на множество жидких частиц и написать для
них уравнения Ньютона с учетом силы тяжести и сил взаимодействия между
частицами. В результате получается так называемое уравнение Эйлера. А с
учетом вязкости его несколько более сложное обобщение называется
уравнением Навье - Стокса. Так вот, оказывается, что с помощью уравнения
Эйлера задачу о движении жидкости с анизотропной массой можно привести к
задаче о течении жидкости с изотропной массой. Для этого достаточно
вместо координаты z вдоль магнитного поля ввести новую
Рис. 13. Движение пузырька в жидкости, обладающей сильной анизотропией
массы.
42
6. Своенравные фонтаны
координату z' = zf3, так что сравнительно большим изменениям z
соответствуют умеренные изменения z'. Другими словами, при переходе от г
к г' масштаб вдоль магнитного поля уменьшается. Соответственно, нужно
изменить масштаб и для скорости: = г>ц/3.
В переменных z' и уравнение становится обычным (т. е. для изотропной
жидкости с плотностью р±), но при этом меняется выражение для силы
тяжести, а именно, новая сила р^д^ равна Р\\Ъд\\ = р±д\\/3- Так как /3 -С
1, то в новых переменных ускорение g' = bjO||g|| + P||g± близко к
направлению магнитного поля. Пузырек в новых переменных тоже меняет свою
геометрию: он становится похожим на плоскую лепешечку, ориентированную
так, что ее ось симметрии направлена вдоль магнитного поля. Теперь мы
можем полностью описать движение пузырька в анизотропной жидкости. Для
этого рассмотрим сначала движение пузырька в координатах х, z', и для
того, чтобы "танцевать от привычной печки", повернем систему координат
так, чтобы эффективная сила тяжести была направлена вниз (рис. 14). Можно
показать, что при этом
горизонтальная плоскость в повернутых координатах х, z' совпадает с
горизонтальной плоскостью в координатах х, у. Пузырек в координатах х, z'
выглядит как лепешечка, ориентированная поперек магнитного поля. По этой
причине он будет подниматься не точно вверх, а будет немного уходить в
сторону, но этот уход мал, поскольку в координатах х, z' магнитное поле
имеет направление, близкое к вертикальному. Дальше можно опять
воспользоваться законом Ньютона:
та = Fa - До 5
Рис. 14. Воздушный пузырек в преобразованной системе координат (х',у').
где по-прежнему а - ускорение, то - присоединенная масса, Fa - сила
Архимеда, Fu - сила сопротивления. Присоединенная масса пропорциональна
р±, а не р, так как моделирующая изотропная жидкость имеет плотность р±.
Так как эта масса образуется за счет кинетической энергии жидкости,
обтекающей тело, то она должна быть пропорциональна объему обтекающей
жидкости. Этот объем, конечно, больше объема тела, потому что обтекается
тонкий диск толщиной г/З <С г, а обтекающий объем ~ г3. Поэтому если
выразить присоединенную массу в прежнем виде через объем
6. Своенравные фонтаны
43
и скорость пузырька, то для учета указанного обстоятельства нужно
написать
то = A' p±Vb,
где коэффициент А' несколько отличается по величине от А из-за изменения
геометрии, но остается порядка А. Сила Архимеда во вспомогательной
системе координат равна Fa = p^gJV = p^g^Vf3. Отсюда видно, что в нашей
вспомогательной системе координат ускорение пузырька без учета силы
сопротивления равно примерно д||/З2. Сила сопротивления Fd также содержит
плотность т. е. Fd = C'r2(v)2p±, где С' = С. Приравнивая силы Архимеда и
сопротивления и учитывая, что объем диска в /З-1 раз меньше объема шара,
мы найдем величину установившейся скорости пузырька вдали от точки его
отрыва в нашей вспомогательной системе координат
v' ~ л/9\ф/3.
Теперь вернемся к исходной системе координат, т. е. к анизотропной
жидкости. Для этого рис. 14 нужно повернуть так, чтобы направление
магнитного поля вернулось в свое прежнее положение, а затем полученную
картину нужно растянуть вдоль магнитного поля в /З-1 раз. При этом во
столько же раз возрастут скорость и ускорение пузырька (рис. 15). Умножив
найденные выше вспомогательные величины о! и vr на /З-1, мы увидим, что
Рис. 15. Воздушный пузырек в пузырек в анизотропной жидко- обычной
системе координат, сти в момент отрыва имеет гораздо меньшее ускорение ац
~ д\\13, а установившаяся скорость сохраняет прежний порядок величины v ~
Заметим, что а_\_ ~ g±lЗ2
значительно меньше ац, если только магнитное поле не "прилегает" к
горизонтальному направлению.
Разумеется, наши рассуждения очень грубы, но они все же схватывают
главный эффект анизотропии. Пузырьки начинают подниматься не вертикально
вверх, а наклонно, почти вдоль силовых линий магнитного поля. Увеличение
поперечной массовой плотности приводит к тому, что начальное ускорение
пузырька становится значительно меньше, а установившаяся скорость
