На пульсаре - Кадомцев Б.Б.
ISBN 5-85504-013-5
Скачать (прямая ссылка):
можно сформулировать как сохранение тангенциальной компоненты скорости и
смену знака у нормальной компоненты скорости. Пользуясь нашими формулами,
нетрудно проверить (сделайте это самостоятельно), что
30
4. Миша и Саша
Рис. 7. Преобразование осей координат (х, у) в новую систему координат
(х',у') при сжатии пространства вдоль направления магнитного поля В.
тангенциальная компонента скорости пропорциональна величине тцУц cosa -
rrij_v±_ sin а, т. е. тангенциальной компоненте импульса в старых
координатах, а нормальная - величине г>ц cos а + wj_ sin а, т. е.
нормальной компоненте скорости в старых координатах. Таким образом, мы
получаем условия упругого отражения частицы с анизотропной массой.
Задача №3
С помощью преобразования координат привести задачу о движении частицы с
анизотропной массой в поле силы тяжести к движению изотропной частицы.
Эта задача лишь немного сложнее предыдущей. А именно, допустим, что на
частицу действует сила тяжести F = гггц g, где g - ускорение силы
тяжести. Теперь оси (х,у) удобно выбрать таким образом, чтобы ось х была
ориентирована по горизонтали, а ось у - по вертикали. Тогда ускорение g
будет иметь только у-компоненту: ду = -д. Движение частицы можно
разложить на компоненты поперек и вдоль магнитного поля:
т_|_а_|_ = тцдд; тоцац = тоцдц.
Здесь а - ускорение частицы, а индексы _L и || - соответственно проекции
на поперечное и продольное направление.
Произведем опять преобразования сжатия плоскости вдоль В. При этом г>ц =
г>|| /(5, так что уравнения движения с учетом соотно-
4. Миша и Саша шения т/гп±_ = /З2 можно записать в виде:
mj_vj_ = т\\дг, m±v'^ = /З^тц^ц
31
Отсюда видно, что если мы введем новое ускорение силы тяжести с
компонентами g'j_ = д±; д^ = (?ц/3-1, то в этом новом гравитационном поле
изотропная "утяжеленная" частица с массой mi будет в точности
моделировать движение исходной анизотропной частицы.
Нетрудно проверить, что в новой системе отсчета "горизонт" совпадает с
осью х'. Другими словами, ж'-компонента ускорения g'
Таким образом, если штрихованную плоскость рис. 7 повернуть таким
образом, чтобы ось х' стала горизонтальной, то мы смоделируем изотропной
частицей поведение сильно неизотропной частицы в поле силы тяжести.
Теперь понятно, почему мячик (см. рис. 5), падая на ось у', скатывается
по ней скачками, а затем продолжает скакать по горизонтальной плоскости.
равна нулю. Это следует из того, что векторы
взаимно перпендикуляр-
ны.
5. Игра в бильярд
Через неделю Миша был опять в том же зале.
- Сегодня мы с тобой сыграем в бильярд, - сказал Леонид Андреевич. Только
это не обычный бильярд, а бильярд на пульсаре. Все его шары имеют сильно
анизотропную массу, т. е. их поперечная масса т±_ значительно превышает
продольную тоц. Для удобства мы направим магнитное поле горизонтально и
точно вдоль бильярда, так что шарики будут легкими вдоль и тяжелыми
поперек бильярда.
Сначала научимся ударять шары кием. Если ударить шар под произвольным
углом, то он полетит почти вдоль бильярда. В самом деле, если шарику
сообщить произвольный импульс р, то разлагая его на продольную и
поперечную компоненты, будем иметь
Р = Р | + Р± = Ш|Д|1 + т-Lv-L-
Так как т± шц, то поперечная скорость будет мала по сравнению с
продольной, т. е. w_l ~ ицшц/шд.
Чтобы шарик направить в произвольном направлении, т. е. получить v± ~
W||, нужно ударить так, чтобы продольный импульс был
т и
мал, т. е. рц ~ ^ Р±- Другими словами, шар нужно ударять
поперек бильярда, отклоняя кий от строго поперечного направления лишь в
пределах малого угла ~ шц/шд. Это не так легко, но все же
осуществимо.Теперь рассмотрим, что происходит при столкновении
движущегося шара с неподвижным. Начнем опять с обычных шаров на Земле.
При лобовом ударе налетающий шар после удара останавливается, а
покоившийся шар движется со скоростью налетающего шара. Это есть простое
следствие законов сохранения энергии и импульса: только при полной
передаче энергии и импульса суммарные энергии и импульс сохраняются.
Рассмотрим теперь нелобовой удар (рис. 8). Пусть линия, соединяющая точку
соприкосновения шаров с центром второго шара, составляет угол 7 с
направлением скорости первого шара. Разложим эту скорость на две
составляющие: нормальную к касательной плоскости в точке удара vn и
касательную vt. По отношению
5. Игра в бильярд
33
к нормальной скорости мы имеем как бы лобовой удар: после удара она
исчезнет у первого шара и появится у второго. Касательный импульс (т. е.
произведения массы шарика на vt) не может быть передан второму, так как
касательная сила отсутствует. Поэтому он остается у первого шара. Таким
образом, после удара шары разлетаются под углом 90°: первый шар
отскакивает со скоростью vt, а второй движется со скоростью v".
Рис. 8. Разложение относительной скорости мячика v на тангенциальную vt и
нормальную vn составляющие.
А теперь вернемся к нашему необычному бильярду с шарами, имеющими очень
сильную анизотропию масс вдоль и поперек бильярда. Начнем опять с
