Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
Ответ.
S(a) - Si(Ui) + S2(U2) - Si(E/°) + a+
32
Глава 1
а скорость ее возникновения есть
Выразим, далее, содержащиеся здесь вторые производные через температуры
ТиТ2 подсистем в неравновесном состоянии:
- - = f ( \ = f ( \
Ti dU1~^°L^ Т2 dt/2 Разложение функций fi,f2 в ряд Тейлора дает
dS^fdSA ,
ш ~ KmrJu?
+ ( ТТГГ 'ATT ) _ а + ¦ ¦ ¦ = W Ь ( ~7ГГ7Г ) а +
( д дБЛ
КЖГгШ)
- То ^ V ди\
dS2 _
эи-2 \аи2/и°
_(_д_д&) a + ...-±_(&S2\ а + ...
\dU2m)u° + -То \dUl)u?2 +
Подставляя эти результаты в выражение для S'(a), легко найти искомое
выражение баланса энтропии:
0^=(д~^)А = Л(?)^0'
где а = dta - тепловой поток между подсистемами; Д(1 /Т) = (¦д@/да) -
термическая сила.
22. Изолированная прерывная система состоит из двух подсистем, имеющих
одинаковый объем, но различающихся энергией U± = U(r) + a, U2 = ?/2 - а и
числом частиц щ = п(r) + /3, п2 = п2 - /3, где t/j5, ?/2 , , п2 -
энергии и числа частиц в подсистемах в равновесном
состоянии. Построить баланс энтропии в такой системе, считая, что
подсистемы находятся в тепловом контакте и способны обмениваться массой.
1.2. Принцип локального равновесия. Баланс энтропии 33
Ответ. 0 = 5= (^тр тр-) а - /3^0, j№- = )р,
OS П 1 " 2 12
= -р-, П - химическим потенциал.
23. Для изотермических диффузионных процессов в и-компо-нентной
непрерывной системе локальное производство энтропии в соответствии с
общим выражением (1.14) есть
П
e = T~1Y,Jk-(Fk-(VHk)T) ^0.
к=1
Показать, что в условиях механического равновесия, описывае-
п
мого соотношением Vp = ^2 pkF'к, производство энтропии не зависит
к=1
от выбора характеристической скорости (va) отсчета в выражении
диффузионного потока Jk = Pk(vk - va) (теорема Пригожина), где
П
va = ^2 akVk\ (ik - весовой множитель скорости к-го компонента vk.
к=1
Указание. Использовать соотношение Гиббса-Дюгема в локаль-
П
ной форме Pkdpk + psdT - dp = 0.
k=i
24. Производство энтропии, обусловленное диффузией в п-компонентной
непрерывной изотермической системе без химических реакций, имеет вид
(1.14):
П
e = T~1Y,Jk- {Fh ~ (Vpk)T} ^ 0.
к=1
Внешние силы Fk = oj2r + 2[и;-и>] связаны только с вращением системы с
угловой скоростью и>. Преобразовать в, используя теорему Пригожина
(задача 23), к виду
П
в = Т-1 J2 Pk(vk - Va) ¦ {ш2г + 2[иащ]-
к=1 - рьк(ш2г + 2[vaw}) - (Х?Рк)т,р} ^ о,
П
где Vk - парциальный удельный объем к-го компонента; va = ^ (ik^k
к=1
- произвольная характеристическая скорость отсчета; аи - весовой
множитель скорости к-то компонента v
34
Глава 1
25. Найти выражение баланса энтропии для элемента объема непрерывной
неполяризующейся и-компонентной системы, в которой действуют необратимые
процессы - вязкое движение среды, молекулярный перенос тепла и массы в
электромагнитном поле. Выделить явную форму потока энтропии Js и
производства энтропии в.
Указание. Использовать выражение баланса внутренней энергии (1.5) и
решение задачи 11, баланса массы (1.2) без учета химических реакций и
соотношение pV • v = ppdtv где v - удельный объем; р,р - плотность и
давление; v - скорость центра масс.
в = T~2Jq • VT--Т~Х ЕЛ ' {TV (^) ~qk(E + c->ff])} - T-MV • ")-
-Г"1 Ф8 : (Vu)s - Г"1 Фа • {(Vu)a - 2ша} ^ 0.
Примечание. Первые два слагаемых в выражении в дают вклад в производство
энтропии, обусловленный теплопроводностью и диффузией; три других
слагаемых определяют вклад, связанный с эффектами объемной, сдвиговой
вязкости и вязкости внутреннего вращения. При этом последнее слагаемое
обращается в нуль, если тензор давления симметричен либо когда
антисимметричный тензор градиента скорости (Vu)a (вихревой тензор) равен
удвоенной угловой скорости 2u>a внутреннего вращательного движения
элементов массы среды (2u>a = (Vu)a). Это условие справедливо для
большинства жидкостей и определяет среду, динамика которой подчиняется
уравнению Навье - Стокса с симметричным тензором давления Р.
Ответ.
Глава 2
Линейная термодинамика Онзагера
В условиях термодинамического равновесия все силы и потоки, а вместе с
ними и производство энтропии обращаются в нуль. Поэтому при
незначительном удалении от равновесия вполне естественной является
гипотеза Онзагера, устанавливающая линейную связь между потоками и
силами:
т
Jk = Y,Lkj(-)Xj (fc = l,2,...,n), (2.1)
з=i
где Jk,Xk - обобщенные потоки и силы любой тензорной валентности; т -
число независимых сил или потоков; Lkj - тензор, декартовы компоненты
которого называются феноменологическими или кинетическими коэффициентами
либо коэффициентами Онзагера. В дальнейшем для записи различных
соотношений в представлении обобщенных потоков и сил произвольной
тензорной валентности используется запись закона (2.1) в представлении
декартовых компонент независимых потоков и сил Jk,Xk, входящих в
выражение производства энтропии (1.14):
т
Jk = ^2 LkjXj (к = 1,2,..., и). (2.1а)
1=1
Вслед за принципом локального равновесия гипотеза Онзагера (2.1) является
следующим положением в аксиоматической схеме термодинамики необратимых
