Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
энергии dt(pe) = -V • Je, можно найти
-V • (Jq + puv) = dt + dt(p<p) +
+ \dt(E2 + H2) + dt(pu) + V • (P ¦ v) +
n / 2 \
+v • 53 <PkJk + V • с 1 [EH] + V • (p\~vj + V(P4>v)-
1.1. Законы сохранения 25
С учетом балансов потенциальной энергии (задача 10) и энергии
электромагнитного поля (задача 3) преобразуем это соотношение к виду
2 \ /2
.V \ п I "V
-V • (JQ + puv) = dt + V ' \ P^rvJ + dt(Pu)~
n n I
-I E - Y PkFkvk + Y E vki4>kUi + V • (P • v).
k=1 k=1 г=1
Определим, далее, удельную энтальпию системы
П
h = ^pkhk = ри+р, k=i
где р - давление. Следовательно, V * (puv) = V • I ^2 pkhk - р \ v =
\k=i /
n n
V • Y hkpkvk - V • Y hkJk - v • (pv).
k=1 fe=l
В качестве следующего шага исключим слагаемые, описывающие локальное
изменение кинетической энергии и ее конвективный перенос, используя
соотношение
dt {^р\^ + V • = ^ S PkFk - V • • v =
= ( Е - V • Р - Vp) • и,
возникающее после некоторых преобразований из совместного рассмотрения
балансов импульса (1.4) и массы (1.2а). В результате оказывается
V • I Jq ^ hkJk ) - V • Ju -
k=l
п
= Ё (PkFk - Vp) * V - (V • Р) • V + V * (Р * и) +
fe=i
п п
+9i Е *APfc -dtp- I ¦ Е - Y PkFk ¦ Vk +
k=1 fe=l
n n I
+v • E Pkhkvk -EE VkPptLJi.
k=1 fe=l i=l
26
Глава 1
Наконец, используя соотношения
V • (Р • v) = v • (V • Р) + Р :Vu,
V • (pkhkvk) = hkV ¦ pkvk + pkvkVhk,
dt{Pkhk) = Pkdthk + hkdtpk,
П П I
hk{ptPk + V *
k=1 A=l*=l
окончательно находим
n n
-V • J" = X) " VP) • V + P :Vu + 5] Pfedf/ifc +
fc=i fe=i
n n
+ E • V/ifc -dtp- I ¦ E - E PA-Ffc • Ufc +
k=1 fe=l
n I
+ E E VkiUi{hk - (pk).
k=1г=1
Этот результат дает представление потока внутренней энергии Ju в системе
центра масс. При переходе в другую систему характеристических скоростей
отсчета правая часть этого выражения меняется. Однако можно видеть, что в
частных условиях, когда
П
^2 PkFk = Vp, Vv = О,
к=1
поток Ju не зависит от характеристической скорости. Первое условие, в
соответствии с выражением баланса импульса (1.4), требует механического
равновесия системы.
Примечание. Эволюция необратимых систем включает этапы установления
механического и термодинамического равновесий. Как известно, система
находится в механическом равновесии, если в нуль обращается сумма всех
сил и сумма всех моментов сил, действующих на любой элемент ее объема.
Первое условие означает отсутствие в системе поступательных компонент
1.1. Законы сохранения
27
ускорения, а второе - вращательных компонент. Кроме того, существует
целый класс практически важных систем, для которых в условиях равновесия
в нуль обращаются также и градиенты скоростей, а следовательно, и вязкого
тензора давления. В этом случае уравнение механического равновесия, как
следует из выражения баланса импульса (1.4), отвечает соотношению
П
Vp = 'Y.pkFk, к=1
которое широко использовалось Пригожиным для исследования
многокомпонентных термодинамических систем [4]. При этом считалось, что
время установления механического равновесия, описываемого предыдущим
соотношением, значительно меньше характерных времен термодинамических
процессов.
В частности, для таких медленных процессов, как диффузия,
теплопроводность, термодиффузия, медленные химические реакции, можно
считать, что механическое равновесие, по При-гожину, устанавливается к
моменту начала этих процессов. Разумеется, это положение носит
приближенный характер и выполняется тем точнее, чем медленнее развивается
исследуемый процесс.
14. Доказать соотношение
П
- Fk) = О
к=1
для системы, находящейся в состоянии механического равновесия,
описываемого условием
п
!>** = vp.
к=1
15. Для закрытой n-компонентной прерывной термодинамической системы,
состоящей из двух подсистем (а = 1,2), обменивающихся массой и зарядом с
участием химических реакций, вывести
28
Глава 1
соотношения
п , ч
Е dtrri k = 0 (а = 1,2),
к=1
Е 4а) = S Qkdtm^ = 0 (fc = 1,2, ...,га),
а=1 а=1
j п
Е "'ь = -1, Е "*" = 1, (г = 1,2,...,/).
fe = l /2=^ + 1
Указание. См. соотношения (1.7), (1.8).
1.2. Принцип локального равновесия. Баланс энтропии
16. Дать обсуждение применимости принципа локального равновесия к
макроскопически неравновесным системам и указать на возможные
ограничительные критерии.
Примечание. Идея о локальном термодинамическом равновесии была впервые
высказана Пригожиным и оказалась весьма плодотворной в развитии
термодинамики необратимых процессов. Разумеется, не всякая неравновесная
система локально равновесна, но можно утверждать, что в локальном
равновесии находятся те макроскопически неравновесные системы, в которых
скорость изменения макроскопического состояния значительно меньше
скорости любого элементарного процесса, определяющего микроскопическое
состояние системы. В частности, для процессов теплопроводности это общее
утверждение соответствует условию (АТ/At) <С Т/т, где АТ -
макроскопическое изменение температуры за время At; Т - средняя
температура; т - время элементарного процесса, оказывающего основное
