Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
P :Vv = (p + q)V ¦ v + Фв ¦ (Vv)s + Фа '¦ (Vu)", q = Sp Ф-, p -
гидростатическое давление; Фs, Фа - симметричная и несимметричная части
вязкого тензора Ф\ (Vu)8, (Vu)a = (l/2)[Vu]
1.1. Законы сохранения
21
- симметричная и несимметричная части тензора градиента скорости.
7. Найти уравнение баланса внешнего Мs = [rv\ и внутреннего Ма = Ju>
моментов количества движения для элемента объема среды, используя баланс
импульса (1.4) и баланс полного момента количества движения (1.4а).
Решение. Баланс полного момента количества движения М = М* + Ма есть
pdtМ = -V • {[rP] + Jw} + p[rF}.
Уравнение баланса для М8 легко найти, умножив векторно слева на г
уравнение баланса импульса вещества (1.4)
pdt Ms = -V • [rP] +p[rF] + 2Фа,
где использовалось векторное соотношение
[rV ¦ Р] = V • [rP] - Р • [Vr] = V • [rP] +Р-Р
и введены обозначения: Р - транспонированный тензор давления; Р - Р = 2
Фа - антисимметричная часть вязкого тензора давления Ф. Баланс
внутреннего момента количества движения находится как разность двух
последних уравнений.
Примечание. Взаимные превращения внутреннего и внешнего моментов
количества движения являются неравновесным процессом, обусловливающим
рассеяние энергии внешних источников движения.
8. Построить баланс кинетической энергии внутреннего (вязкого)
вращательного движения элемента объема среды Juj^/2, используя решение
задачи 7.
Ответ. pdt(Jш^/2) = -2ша ¦ Фа - ш • V • Ju.
9. Найти уравнение баланса трансляционной кинетической энергии pv2/2 для
элемента объема среды в электромагнитном поле без учета поляризации.
22
Глава 1
Указание. Воспользоваться выражением баланса импульса (1.4) и
соотношением v • V • Р = V ¦ (Р ¦ v) - Р : Vv.
Ответ.
dt (рт) = _V' {PYV + р'u) + р: Vu + ^ PkFk'и'
Fk = qk(E + c~x[vkB]) +g + w2r + 2[vkw\.
10. Построить баланс потенциальной энергии pip для элемента объема
среды в электромагнитном поле без учета поляризации, ис-
П
пользуя локальный баланс массы (1.2). Считать, что ^2 рк<рк = рр,
к=1
где ip,ipk - удельные потенциальные энергии системы и ее к-го компонента.
Ответ.
dt(pp) = -V * ppv + Е VkJk - Е PkFk • V-
\ к=1 / к=1
п п I
*^к ' Fk Н- Pk^ki^iч
к=1 fe=l г=1
= gfc(?; + c_1[ufcB]) +g- + w2r- + 2[vkw\.
Примечание. Если в i-й химической реакции потенциальная энергия
сохраняется, то необходимо считать
П
У ^ ^ЫРк - 0 2, ..., /),
fe=l
и последнее слагаемое в решении задачи 10 равно нулю.
11. Полная удельная энергия е термодинамической системы определяется
как сумма соответствующих удельных энергий -
1.1. Законы сохранения
23
трансляционной и вращательной кинетических, потенциальной,
электромагнитной и внутренней:
-у 2 j2
ре = р- + р-из2 + р^р + ~{Е2 + Я2) + ри.
Поток полной удельной энергии Je, по определению, есть сумма
субстанциональных и конвективных потоков этих же энергий:
п 2
Je ЕЕ Р ¦ V + Ju'U) + ^ 'Pk.Jk + с[ЯЯ] + Jq + ртгЮ-Ь k=1
+p^-v + ptpv + puv.
Считая, что полная энергия при необратимых процессах сохраняется, т. е.
dtpe = -V • Je, найти уравнение баланса внутренней энергии ри для
элемента объема неполяризующейся системы, содержащей вязкое движение
среды, перенос тепла и массы в электромагнитном поле и поле сил,
связанных с гравитацией и вращением системы (Fk = g + uj2r + 2[uj,u>]).
Использовать ответы к задачам 3, 8, 9, 10.
Ответ.
dt{pu) = -V • (Jq + puv) - Р : Vu + 2u> • Фа+
П
+j ' (Е + c~x[vH]) + Y,Jk'Fk.
k=1
Примечание. Это уравнение выражает первый закон термодинамики в локальной
форме и указывает на то, что внутренняя энергия при необратимых процессах
не сохраняется. Источник внутренней энергии определен работой вязких сил,
диффузионным переносом массы во внешних полях и количеством удельной
электромагнитной энергии, превращающейся во внутреннюю энергию.
12. Построить выражение первого закона термодинамики в локальной форме
для элемента объема поляризующейся среды. Следуя
24
Глава 1
условиям задачи 11, считать, что полная удельная энергия и ее поток в
системе определены в виде (без учета энергии внутреннего вращения)
ре = р^ + \(Е2 + В2) + ри + с~1Е' • [vM'] - М' ¦ В,
2
JE = Р ¦ V + с[ЕН\ + Jq + puv + p4^v -
~(Р' ¦ Е + М' ¦ B)v.
Указание. Использовать локальный баланс кинетической энергии (решение
задачи 9 без учета гравитации и вращения), выражение
П
(1.17) для силы F = р-1 53 PkFk1 действующей на единицу массы по-
к=1
ляризованной среды, и локальный баланс энергии электромагнитного поля
(решение задачи 3).
Ответ.
dt(pu) = -V • (Jq + puv) - Р : Vu+
+j • E' + E' • dtP' + B' • dtM'.
13. Найти условия, накладываемые на систему и внешние поля, при которых
локальный поток внутренней энергии, определенный
П
как Ju = Jq - 53 hkJki гДе Jq - тепловой поток, hk,Jk - удельная
к=1
энтальпия и поток fc-ro компонента, инвариантен к выбору макроскопической
скорости движения элемента объема среды. Использовать выражения полной
удельной энергии и ее потока, введенные в задаче 11, и результат
обсудить.
Решение. Используя определения е, JE и закон сохранения полной удельной
