Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
Если отмеченные величины измерены в системе, движущейся со скоростью V, и
обозначены штрихами, то в нерелятивистском случае можно записать
17
P' = P-c~1[vM'}, М'= М+ c-1[vP'},
D' = D + c~1[vH'], В' = В - c~1[vE'],
E'= E+ c~1[vB'], H' = H- c_1 ["?>'].
При этом в выражение производства энтропии (1.14) добавляется два
слагаемых, обусловленных электрической и магнитной поляризацией среды
[5]:
где р' = р~1Р', т! = р~гМ' - удельные (на единицу массы) электрическая и
магнитная поляризации; индекс "О" отмечает равновесные значения
напряженности электрического Ео и индукции магнитного В0 полей. В частном
случае покоящихся систем (v = 0) в выражении (1.14а) штрихи можно
опустить.
Сила, действующая на единицу массы поляризующегося fc-ro компонента
системы, есть
в = -T~2Jq • VT - Г"1 ? Jk • {TV - qkE'
к=1
-Г"1 Ф :Vv - Г"1 ? AidtSi - pT-4tp' ¦ (Е'0 - Е')-
i=i
pT-4tm' ¦ (В'0 - В1) ^ 0,
Fk = qk(E' + с 1[vkB'}) + VE'-р'к + VB' • m'k + +c-1Vv{[p'kB'\ -
[,m'kE']) + c~4t[p'kB'] - c-4t{m'kE'}, (L17)
где
n n
P - C-kPki Г71 - С/г - pfo /
k=1 k=1
18
Глава 1
а градиент химического потенциала соответствует представлению Vpk = -
SftVT + vk Vp - VE' ¦ p\-
(1.18)
-VB' ¦ m'k + (VЦк)т,р,в',E',
где Sk,Vk, m'k, p'k - парциальные удельные энтропия, объем, магнитная и
электрическая поляризации.
Соответствующее уравнение Гиббса - Дюгема для поляризующейся среды есть
П
X РкХрк = -psVT + Vp - VE' ¦ Р' - VB' ¦ М', (1.19)
к=1 п
где s = X) ckSk - удельная энтропия.
к=1
В представлении обобщенных потоков Jj, и обобщенных сил Xj производство
энтропии (1.14), (1.14а), (1.16) имеет характерный вид билинейной формы:
тп тп
в = ^ о, 0 = X JjXj > 0: (1-20)
l=i l=i
где тп - число сил (или потоков), действующих в системе; (•) - g'-кратная
свертка; q - ранг тензорной величины.
Наряду с энтропийным в используется и энергетическое ф описание рассеяния
в необратимых процессах:
тп тп
ф = тв = ^2j'j(-)X'j ?0, Ф = Т0 = Х-^^О> (i.20a)
1=1 1=1
где Ф - диссипативная функция, названная по аналогии с релеев-ской
функцией рассеяния в механике. Практически оказывается удобным
использовать энтропийное представление для анализа неизотермических
систем, а энергетическое - для изотермических.
1.1. Законы сохранения
1.1. Законы сохранения
19
1. Построить балансное соотношение для произвольной термодинамической
величины z в характеристической системе скоростей
П
отсчета, базирующейся на скорости центра масс v = р~х Y PkVkt ис-
к=1
пользуя закон сохранения массы в форме dtpk = - V• (р^к), где pk,Vk -
плотность и скорость fc-ro компонента системы.
Решение. Запишем субстанциональную производную от величины z:
dtz = dtz + v ¦ Vz.
П
Умножая это выражение на р = ^ рк и преобразуя, находим
к=1
pdtz = pdtz + pv • Vz = pdtz + V • pzv - zV ¦ pv.
Далее суммируем закон сохранения массы по всем компонентам системы и
результат умножаем на величину z:
zdtp = -zV ¦ (pv).
Совместное рассмотрение двух последних выражений дает искомое балансное
соотношение
pdtz = dt(pz) + V • (pzv).
2. Вывести локальный закон сохранения электрического заряда dt(pq) = -V •
I, используя уравнение локального баланса массы в виде dt(pk) = -V • р^к•
Записать этот закон в субстанциональной форме, используя решение задачи 1
и представление I = pqv +j, где
п п п
q = р~х Y, PkQk, v = р-1 Y PkVk, i = Y PkQkVk,
k=1 k=1 k=1
n n
9- S Pk, j = S QkJk, Jk = Pk(Vk ~ v).
k=1 k=1
3. Построить закон сохранения энергии электромагнитного поля в элементе
объема среды без учета поляризации.
20
Глава 1
Решение. При отсутствии поляризации среды напряженности Е,Н и
соответствующие индукции D,B электрического и магнитного полей совпадают
и уравнения Максвелла имеют вид
V-E = pq, dtE = с [VH] - I,
V • Н = 0, dtH = -с [V#].
Умножая скалярно второе уравнение на Е, а четвертое - на Н, легко найти
dt (Е2/2) = с [VH] E-I E, dt(H2/2) = -с [VE]-H. Складывая эти выражения и
учитывая, что V • [НЕ\ = - [VH] ¦ Е - [V.E] • Н, приходим к необходимому
результату
dt(E2 + Я2)/2 = -V • с [EH] -IE,
где (Е2+Н2)/2 - плотность энергии электромагнитного поля; с [ЕН]
- вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова
- Пойнтинга); I ¦ Е - работа, производимая электрическим полем.
4. Используя уравнения Максвелла, найти локальный закон сохранения
плотности импульса электромагнитного поля с~1[ЕН] в среде без
поляризации.
Ответ. с^д^ЕН] = V • Т - pqE - с-1 [/if], Т = ЕЕ + НН -1/2(Я2 + H2)U -
тензор натяжения Максвелла.
5. Считая, что полный импульс вещества и поля в элементе объема среды
сохраняется, т. е. dt(pv + с_1[?Я]) = -V • (Р + pvv - Т), найти уравнение
баланса импульса для элемента объема среды в электромагнитном поле (см.
задачу 4).
Ответ. dt(pv) = -V • (pvv + Р) + pqE + с_1[7Я].
6. Разложить тензоры давления Р и градиента скорости Vv на скалярную
часть и симметричную и антисимметричную тензорные части; записать
результат двойного скалярного произведения этих тензоров.
Решение. Р = pU + Ф = pU + qU + Ф8 + Фа, Vu = |(V • v)U + (Vv)s + (Vu)",
