Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
(1.2)
(1.2a)
Баланс заряда:
#t(pg) + V • J = 0, M? + V-j = 0, (1.3)
n n
q = р~г^2ркЯк, i = pqv+j, j = ^2qkJk.
k=1 fc=l
Баланс импульса:
(1.4)
13
Баланс полного момента количества движения:
pdtM = pdt(Ms + Ма) = -V-{[rP]+ J"}+p[rF\, (1.4а)
Ма = Jwa, 2wa = [Vu],
Ms = [ru].
Баланс внутренней энергии:
dt (pu) + V • (puv + Jq) = W, pdtu + V • JQ = W, , .
W = -P :Wv + Yl=iJk-Fk. ^
Баланс энтропии:
dt(ps) + V • (psv + Js) = в ^ 0, pdts + V • Js = в ^ 0; (1.6)
в этих выражениях ф,, Vk, Jk - заряд единицы массы, скорость и
диффузионный поток fc-ro компонента системы; q - полный заряд единицы
массы; Jq, Js - потоки тепла и энтропии; v - скорость центра масс; Р -
вязкий тензор давления; р - давление; U - единичный тензор; Ф - тензор
давления; Fk - вектор внешних сил, действующих на единицу массы fc-ro
компонента системы; j, I - диффузионный и полный электрические токи; g -
гравитационное ускорение; г - радиус-вектор; и> - угловая скорость
вращения системы; Е - вектор напряженности электрического поля; В -
вектор магнитной индукции; М - полный момент количества движения единицы
массы системы; Ms, Ма - внешний и внутренний моменты количества движения
единицы массы системы; J - средний момент инерции частиц, образующих
единицу массы системы; и>а - угловая скорость внутреннего вращения
элемента объема системы; Jw - аксиальный вектор (антисимметричный тензор)
плотности потока внутреннего момента количества движения; W - источник
внутренней энергии; в - локальное производство энтропии; dt - оператор
частной производной по времени t.
В случае закрытых прерывных систем (без обмена массой с окружающей
средой), состоящих из двух малых подсистем, законы сохранения имеют
следующий вид.
14 Глава 1
Баланс массы и заряда:
X)dtmi")=0, = J pkdV (к = 1,2,..., п),
а=1 Va
2
1Г = ъ<кт?>, Е ч = 0;
си=1
при наличии химических реакций:
dtU(aa) = dtQ(aa) - dtQ(aa) = - / JQdtt, )
Of
dtU(ba) = dtQ(ba) + h^dtm^, dtQ{ba) = - f JQdSl.
o?
(1.7)
l П
dtm'{a) = Yvbiu\a)V{a\ 5> = 0 (a = 1,2). (1.8)
* = 1 fc=l
Баланс внутренней энергии:
2 2
Y^dtuw = '?(dtu^ +dtu(ba)), U{a) = j pudV, (1.9)
a=l a=l ya
включающий внешний и внутренний вклады:
(1.10)
Закон сохранения энергии:
2 С
Y(dtula) +dt$(a)) = о, Ф(а) = pipdV. (1.11)
a=l уа
Баланс энтропии:
2 2 2
Y dtSia) = Y(d*Saa) + dtS(ba)) = Y(d*S"a) + 0(a))' (1Л2)
a=l си- 1 си- 1
15
(c)<"> = j в dV, dtSa =It, S = J ps dV;
V" v
в (1.7)-(1.12) a - индекс подсистемы; a, b - индексы, отмечающие
принадлежность изменения величины за счет обмена с окружающей средой и за
счет внутренних процессов; S,U, Ф,У,т - полные энтропия, внутренняя
энергия, потенциальная энергия, объем и масса системы; s,u,(p - удельные
энтропия, внутренняя энергия, потенциальная энергия; hk,qk - удельные
энтальпия и заряд fc-ro компонента системы; nik,Pk - масса и плотность
fc-ro компонента; dtm!^\ dtmn
- скорость изменения fc-ro компонента в а-подсистеме, обусловленная
химическими реакциями и обменом с другими подсистемами; р
- давление; Т - температура; dtQa, dtQb - внешний и внутренний потоки
тепла; u>i - скорость химической реакции; Jq - тепловой поток; Hi, Иг -
внешняя и внутренняя поверхности системы; в - локальное производство
энтропии; Is, 0 - полный поток и полное производство энтропии в системе.
Центральное место среди этих соотношений занимает уравнение баланса
энтропии в формах (1.6), (1.12), разделяющее изменения энтропии за счет
взаимодействия системы с окружающей средой (Js, Is) и вследствие действия
в элементе объема источника энтропии мощностью (в, в), обусловленного
необратимыми процессами. Источник энтропии всегда положительно определен,
поскольку энтропия может лишь возникать в необратимых процессах.
Построение явной формы баланса энтропии для конкретных термодинамических
систем достигается подстановкой законов сохранения (1.2)-(1-5) или (1.7)-
(1.11) в соотношение Гиббса в формах (1.1а), (1.1). Последующее сравнение
результата с (1.6) или (1.12) определяет явный вид выражений потока и
производства энтропии. Так, для непрерывных систем
П
J,=T-1JQ-T-1Y,l*kJk% О,
к=1
(1.13)
16
Глава 1
в = -T-2Jq-VT - ? Л-vf^) -T~^:Vv-
k=l ' '
-T-1 ? + T-1 X J* • {qk(E + c-1[vkB]) +
¦i - ^
+g- + w2r- + 2[vkw]} ^ 0; для прерывных систем
(1.14)
2 i
т> = Е ^W)d^a) ^ °' (1Л5)
ск=1
0 = - - J: - ^зу) -
Д , (1) / а41} + а42) + \
"g^(tm)* у Т(1)----------------Т(2) J - (1.16)
~ ? ( гЬ) + г"> j ^
Для описания непрерывных систем, поляризующихся в электромагнитном поле,
вводятся два дополнительных параметра состояния - векторы электрической и
магнитной поляризации (на единицу объема):
Р = D - е0Е = к ¦ Е, D = е • Е,
М = В - ц0Н = х Н, В = ц -Н,
где (D,E), (В,Н) - индукции и напряженности электрического и магнитного
полей; ?о,Цо - электрическая и магнитная постоянные; яг, х - тензоры
электрической и магнитной восприимчивостей; е = ?оU + яг,ц = ц0и + х -
тензоры электрической и магнитной проницаемостей.
