Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
ТП я
пия системы; 8W = ??-8аи - виртуальная работа диссипатив-
к=1 °ак
ных сил; ак,ак = Jk - обобщенные параметры состояния системы и потоки.
Поскольку
т Я А Ч т
S(AS) = ~Q^Sak = Е Хк5а*>
к=1 к к=1
то принцип (2.37) можно записать в следующей альтернативной форме:
ТП / р. т \
? - Хк) Sak = 0, (2.38)
где Хк = (^~) - термодинамическая сила.
Легко видеть, что форма (2.38) эквивалентна линейным законам и
соотношениям Онзагера.
Бахаревой было показано, что общий принцип (2.38) путем аналитических
преобразований может быть сведен к любой из приведен-
2.1. Линейные законы. Соотношения Онзагера. Принцип Кюри 47
ных вариационных формулировок линейной термодинамики. Характер этих
преобразований аналогичен классическому методу перехода от принципа
Даламбера к принципу наименьшего принуждения Гаусса в механике.
Таким образом, приведенные вариационные формулировки линейной
термодинамики эквивалентны и в основе их лежит вариационная форма (2.38).
Однако при решении конкретных задач использование того или иного
вариационного принципа может оказаться предпочтительным.
2.1. Линейные законы. Соотношения Онзагера. Принцип Кюри
26. Пусть S(a±, ct2,..., а") - энтропия изолированной системы при
заданных значениях параметров а,; тогда для процессов эволюционного типа
характерны уравнения вида dtai = щ = -^2Ьт{ат,
т
где щ = Y'b'ijidS/dctj) = Y,b'ijXj(m,l,j = xj = dS/daj
j j
- термодинамическая сила. Если Lmj = ^Ьтф',-, то эволюционное
I
уравнение принимает форму Ji = щ = - LimXm. Доказать для это-
т
го частного типа процессов (скалярные процессы) соотношения Онзагера Lmj
= Ljm, используя принцип микроскопической обратимости и соответствие
рассматриваемой системы микроканоническому ансамблю.
Решение. Для доказательства соотношений Онзагера, основанного на методах
статистической физики, эволюционные уравнения представляются в разностной
форме и умножаются на один из параметров состояния
^ ai(t + т) - ai(t) _ ^ т v
Ot-k - / . ^imOLk^mi
Т
m
где т - интервал времени между двумя наблюдениями параметра а*. Левая
часть этого уравнения усредняется по временному ансамблю одной системы на
достаточно большом промежутке времени. Одновременно, допуская
микроканоническое распределение по микросостоя-
48
Глава 2
ниям, можно провести усреднение правой части уравнения по всему
микроканоническому ансамблю системы
7" (0^* г) (^) (^)}i -
/¦8S
• • • •> "д doc\... docn.
oam
В соответствии с больцмановским определением энтропии вероятность
микросостояния системы есть w(cti,...,an) =
A exp{S'(ai,..., ап)/кв}, где А = const, и, следовательно,
-A J exj>{S(ai,... ,an)/kB}ak(dS/dam)dai ...dan =
= -квАак exp{5(ai,..., ап)/кв}\(^>(х>+
/дсх
exp{S(ai,...,an)/kB}dai ...da" = kBSkm•
UCXm
Здесь учтено условие нормировки функции распределения
uj(a\,..., ап) dai... dan = 1
/•
и обращение в нуль проинтегрированной части, поскольку известно, что
большие отклонения системы от состояния равновесия маловероятны, и
поэтому
ехр{5(а1,..., ап)/кв} -> 0 при сц -\ сю (г = 1,2,...,п).
Таким образом оказывается, что
- (t)&i Н" 7~) OCk {t)0Ci (?)}f - ^ ^ -
&В^г/е*
т
Если провести замену индексов к -> г, то легко установить, что 1
2.1. Линейные законы. Соотношения Онзагера. Принцип Кюри 49
и разность последних двух выражений есть
-{ak(t)ai(t + т) - ai(t)ak(t + r)}t = kB(Lik - Lki). т
В соответствии с принципом "микроскопической обратимости" (замена знака т
-у -т) для временных корреляций параметра щ справедливо
{ai(t + T)ak(t)}t = {ai(t - T)ak(t)}t.
Одновременная замена в правой части этого равенства переменных t - T-^t
не влияет на результат усреднения по большому промежутку времени, и,
следовательно,
{ai(t - т)ак(t)}t = {a>i(t)ak(t + r)}t.
Складывая два последних выражения, легко найти необходимое условие
{ai(t + T)ak(t)}t = {ai(t)ak(t + т)}и доказывающее соотношения Онзагера
Lik = Lkj.
Примечание. Все известные доказательства соотношений Онзагера для
скалярных, векторных и тензорных процессов базируются на принципе
"микроскопической обратимости", обоснование которого лежит в теории
флуктуаций. Вместе с тем для формулировки соотношений Онзагера необходимы
только макроскопические понятия, и существует проблема их чисто
феноменологического вывода, решение которой в настоящее время отсутствует
[5, 9].
27. Доказать соотношения взаимности Онзагера для систем, находящихся во
внешнем магнитном поле: Lik(H) = Lki(-H), где Н - вектор напряженности
поля.
50
Глава 2
Указание. Воспользоваться принципом "микроскопической обратимости",
обобщенным на случай действия псевдовекторных полей В:
{ai(t + т)ак(Ь)}\В) = {ai(t - T)ak(t)}\~B\
28. Показать, что соотношения взаимности Онзагера Lkj = Ljk являются
частным случаем более общих соотношений вида
dJj д.1к дХ~к = дХ^'
29. Производство энтропии в системе определено билинейной формой
обобщенных сил X* и потоков Jk :
т
в = Y, JkXk ф о,
к=1
а линейные законы Онзагера сформулированы в виде
т
Jk - ^ ' LkjXj (к - 1,2,..., ш);
