Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
взаимности Онзагера.
Обобщение интегральной формы принципа наименьшего рассеяния энергии
(2.19) при варьировании по силам в свете полевой теории способствовало
установлению глобального интегрального вариационного принципа
термодинамики необратимых процессов, сформулированного Дьярмати [9]. Этот
принцип утверждает экстремальность так называемой термодинамической
функции Лагранжа Ь? системы:
v
Экстремум функционала Ь? реализуют уравнения Лагранжа - Эйлера
где = ps - G - термодинамическая плотность лагранжиана, представляемая
как разность между "кинетической" частью ps, содержащей скорость
изменения энтропии s, и потенциальной частью G, рассматриваемой как
потенциал рассеяния в представлении термодинамических сил. Варьирование в
(2.29) осуществляется при постоянстве потоков по интенсивным параметрам
аи состояния системы, градиенты которых даи/дгр являются
термодинамическими силами. Условие постоянства потоков означает обращение
в нуль вариации 8du, и по этой причине в (2.29), (2.30) отсутствует
вариация параметра dk. В этом заключается основное различие между
формулировками интегрального вариационного принципа Дьярмати и
обобщенного принципа Гамильтона f f dV dt = 0 для непрерывных сред, где
У? = 5^(аи, dk, - плотность функции Лагранжа; аи - по-
левые переменные, к = 1, 2,..., т; г, t - радиус-вектор и время.
2= (ps- G)dV = / &dV = max, (2.29)
v
v
V t
44
Глава 2
Принцип Дьярмати весьма продуктивен в прикладном отношении. Он позволяет
получить систему динамических уравнений переноса в форме уравнений
Лагранжа - Эйлера для плотности лагранжиана Ь?.
Иной подход, использующий лагранжев формализм в линейной термодинамике
необратимых процессов, был также развит Био [8]. Он базируется
непосредственно на принципе Гамильтона в представлении обобщенных
координат а и обобщенных скоростей а :
и уравнениях Лагранжа - Эйлера, реализующих экстремум (2.31) с учетом
диссипативных и внешних сил в предположении, что силы инерции
несущественны = О) :
где JT(a, a, t) - функция Лагранжа системы; U - тепловой потенциал
(потенциальная энергия в механике); Ф - потенциал рассеяния в
представлении потоков (диссипативная функция в механике); Fk -
термическая (внешняя в механике) сила, определяемая методом виртуальной
работы.
Уравнения (2.32) имеют такой же вид, как и уравнения Лагранжа в механике,
описывающие медленное движение диссипативной системы, когда силами
инерции можно пренебречь.
Используя (2.32), Био поставил и решил ряд конкретных задач переноса
энергии в открытых непрерывных термодинамических системах [8]. Основная
особенность его подхода применительно к задачам теплопереноса связана с
введением некоторого векторного поля названного им тепловым смещением и
являющегося функцией пространственных координат г(г@), где /3 = 1,2,3, и
времени t.
Введение этого поля обусловлено выбором вектора плотности теплового
потока в виде Н = JH dt. Предпосылки подобного выбора базируются на
законе сохранения внутренней энергии (1.5) в редуцированной форме рхТ = -
V • Н. В представлении поля Н(r,t) уравнения
<2
(2.31)
45
Лагранжа (2.32) записаны Био в следующем виде:
J крТ8Т dV+jj H-8HdV = J TSH ¦ dfl, (2.33)
V V о
где тепловой потенциал, потенциал рассеяния и термическая сила суть
с/ = 1
\ J xpT2dV, ф = 1\/ H2dV,
v v
/ЭН
Тп- --<Ш (к = 1,2,..., пг); дак
(2.34)
х, р - теплоемкость и плотность среды; А - изотропная теплопроводность; Т
- избыточная по отношению к равновесной температура; V, fi - объем и
поверхность среды; п - единичная нормаль к поверхности.
Как следствие использованного лагранжева формализма Био обнаружил, что
уравнения Лагранжа (2.32) эквивалентны некоторому принципу
Ш / Ж \
у (д^ ~ х'Хк)Sdk = °> (2-35)
X - F ди
-Л-к = Гк - -Д ,
дак
который он назвал принципом минимальной диссипации. Этот принцип можно
получить, минимизируя потенциал рассеяния Ф по скоростям ак при условии,
что мощность сил, обусловливающих неравновесное состояние системы,
задана:
ГП
Ф - У Хкак = min (к = 1,2,..., тп), (2.36)
к=1
m
У] Хкак = const. к=1
46
Глава 2
Уравнения Лагранжа в виде (2.32) непосредственно следуют из условия
(2.35), если множитель Лагранжа определить как А' = 1 и учесть
произвольность вариаций Sdk-
Сравнение структуры вариационных формулировок Онзагера (2.13), Циглера
(2.28), Био (2.35) показывает их эквивалентность, что было отмечено
Циглером [11]. Соответствующий анализ, направленный на построение общей
вариационной формулировки линейной термодинамики, был проведен Бахаревой
на основе аналогий с лагран-жевой формой аналитической механики
диссипативных систем [10]. В результате была установлена принципиальная
эквивалентность всех приведенных условий - (2.13), (2.15), (2.16),
(2.25), (2.27), (2.28), (2.35) - одному общему вариационному принципу,
дифференциальная форма которого в случае скалярных процессов имеет вид
т Я<й
= (2-37)
к=1 ак
где Ь? = Ekin - U - функция Лагранжа; Ekin = 0; U = AS - энтро-
