Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
процессов. Сами соотношения (2.1) называются феноменологическими
уравнениями или линейными законами Онзагера. Соотношения (2.1)
соответствуют энтропийному представлению процессов рассеяния (1.20). В
случае формулировки линейных законов в энергетическом представлении
(1.20а), предпочтительном для изотермических процессов, новые
феноменологические
36
Глава 2
коэффициенты связаны с коэффициентами Lkj, соотношениями Lkj = Т 1L*k-.
Используя закон (2.1), можно представить производство энтропии в и
диссипативную функцию ф как некоторые квадратичные формы обобщенных сил:
ТП
в= LkjXkXj ф 0, (2.2)
k,j=1
тп
¦Ф = Е LljXkXj 2 0. (2.3)
k,j = 1
В качестве меры необратимости процессов наряду с рассматриваются
также локальные потенциалы рассеяния в энтропийном
представлении
тп
G(X, X) = -J2 LkjXkXj ф 0, (2.4)
k,j=i
.. m
= 0 (2.5)
k,j=l
и в энергетическом представлении G* = TG, Ф* = ТФ.
Положительная определенность квадратичных форм (2.2)-(2.5) накладывает
известные условия на матрицу феноменологических коэффициентов:
La ф- 0, L^Ljj - (Lij Lji) Ф 6)?
det Lij ф 0. (2-6)
Важные связи между коэффициентами матрицы Lkj устанавливаются
соотношениями взаимности Онзагера:
Lkj - Ljk (к, j - 1,2,..., ш). (2.7)
37
Первоначально они были найдены Онзагером для скалярных необратимых
процессов как следствие принципа "микроскопической обратимости",
выражающего инвариантность "микроскопических" уравнений движения частиц
системы относительно операции обращения знака времени (t ->¦ - t).
В дальнейшем, при рассмотрении векторных и тензорных процессов Казимиром
были введены в рассмотрение два типа обобщенных сил - четных (a-тип) и
нечетных (/3-тип) относительно изменения знака времени - и записаны
обобщенные соотношения взаимности:
Lkj - -
1 Xk,Xj G a, . .
-i xk,Xjep.
В случае действия внешнего магнитного поля или силы Кориоли-са принцип
"микроскопической обратимости" выполняется, если одновременно с
изменением знака скоростей всех частиц изменяется и направление
магнитного поля или направление вращения системы. Для этих условий
характерны более общие соотношения взаимности:
Lkj(B) = ?k?jLjk(-B), (2-9)
-6kSjLjk{ k:), (2.10)
известные как соотношения Онзагера - Казимира, где В,ш - векторы
магнитной индукции и скорости вращательного движения.
Справедливость соотношений взаимности нарушается, если между потоками или
силами существуют зависимости. Это обстоятельство необходимо учитывать
при составлении баланса энтропии и выборе сил и потоков.
Дальнейшие упрощения в матрице феноменологических коэффициентов основаны
на использовании свойств пространственной симметрии континуальной среды.
В этой связи система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна
относительно ряда ортогональных преобразований координат (принцип Кюри).
В случае изотропной среды применение операций инверсии и вращения к
системе (2.1) указывает на сохранение при преобразовании связей лишь
между потоками и силами одной тензорной валентности. Это означает, как
было
38
Глава 2
показано де Гроотом и Мазуром, обращение в сферические тензоры
феноменологических коэффициентов в линейных законах, записанных
применительно к изотропной среде:
L = LU, (2.11)
где U - единичный тензор; L - скаляр.
Положения (2.1) - (2.10), отмеченные выше, составляют линейную
феноменологическую теорию необратимых процессов Онзагера. К этому
необходимо добавить, что совокупность законов сохранения энергии, массы и
импульса и баланса энтропии вместе с линейными феноменологическими
уравнениями, условиями, вносимыми соотношениями Онзагера и принципом
Кюри, и эмпирическими уравнениями состояния можно считать полной в том
смысле, что из нее следует полная система дифференциальных уравнений для
переменных состояния среды.
Наряду с отмеченной существует и другая формулировка линейной
термодинамики необратимых процессов, в основу которой положены
вариационные принципы и аппарат континуальных уравнений Эйлера - Лагранжа
[9-12].
Первый вариационный принцип линейной термодинамики необратимых процессов
был установлен Онзагером [1]. Этот принцип, названный принципом
наименьшего рассеяния энергии, утверждает экстремальность некоторого
локального функционала, записанного в представлении варьируемых потоков J
при постоянстве термодинамических сил X в следующем виде:
{ps + V- Js- *(J,J)}X =
(2.12)
{9{J,X) - $(J,J)}X = max,
S{0(J,X) - Ф(.7, J)}x = 0, SJ ф 0, (2.13)
где - потенциал рассеяния (2.5) в энтропийном представле-
нии, выраженный через потоки. Экстремум, определяемый (2.12), может быть
только максимумом в силу положительной определенности
39
производства энтропии и потенциала рассеяния. Варьируя по потокам с
учетом (1.20), (2.5), условие (2.13) можно представить в виде
Другая форма принципа Онзагера была установлена Дьярмати [9] для
локального функционала, записанного в представлении варьируемых
термодинамических сил при постоянстве потоков:
Обе альтернативные формы вариационного принципа Онзагера (принципа
