Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
инварианта относительно подгруппы трансляций: т?" + ?" и rj"- ?", где 17
и % - компоненты параметра порядка, принадлежащие лучу к и -к
соответственно. Двумерное НП может описывать модулированную структуру
зила продольной спиновой волны (LSW). Спиральные магнитные структуры
описываются четырехмерными НП группы G (т.е. двумерными НП группы Gk).
Возникает задача построения ИД для многомерных НП группы Gk- Технику
построения таких инвариантов лучше всего продемонстрировать на конкретном
примере.
Рассмотрим магнитный фазовый переход в кристалле MnAu2 (пространственная
группа 14/ттт) с образованием спиральной структуры типа SS [41]. Нетрудно
показать, что эта структура описывается двумерным НП Ts группы волнового
вектора к -цЬ3, принадлежащего двухлучевой звезде {к, -к). Атомы Мп
занимают в кристалле позицию 2(a), и для единственного атома Мп
примитивной ячейки атомные компоненты псевдоспиновой базисной функции,
рассчитанные по соотношениям § 6, равны
5И~0-^-(1:11)-5г'(1)-5г'=(1)- (34Л2)
Соответствующие компоненты четырехмерного параметра порядка будем
обозначать 171; г)2, ?1, ?2 • Эти величины комплексные, причем, согласно
виду базисных функций (34.12), имеют место соотношения
t?i=?2*, т72=?Г. (34,13)
Структура типа SS с атомами, лежащими в базисной плоскости, соответствует
частному выбору компонент: т?2 =?1 =0 (правая спираль) либо 171 = ?2 ~0
(левая спираль).
Для установления закона преобразования компонент параметра порядка
необходимо индуцировать матрицы НП пространственной группы ВЦ по матрицам
двумерного НП г5 группы G*. С помощью формулы
(2.7) получаем для генераторов группы D\l
n • <*<*.*>= 00 *<*.,)= (34.14)
Легко теперь проверить с помощью полученных матриц, что при любом д
(включая и нерациональные значения этого числа) инвариантами группы D\l
являются выражения
0hk)p+(n2Si)p. (VibV2%i)p (34.15)
при любом целом р, а также
пРтрг ЬРз tP* 4- ЬР1 tP2 пР 3 пР * 4-tP 1 tP2 r>P3 nP* 4- nP 1 **Pl ЬРз
bP*
V\'V2 Si c2 + c2 V2 Vi + Cl c2 Vi Vi +V2 T}1 ?2 gj ,
(34.16).
210
при следующих условиях на целые числа рi ,..., р4:
Р1+Р2=Рз+Р4. Ipi +Рз ~Рг -Р4 1 = 4 Л, (34.17)
где А: - любое целое число, включая и нуль. Полагая некоторые р,- равными
нулю, из (34.17) получаем выражения (34.15), поэтому (34.16) еде дует
считать инвариантами самого общего вида.
Для рациональных значений (34.11) волнового вектора имеем следующий набор
инвариантов Дзялошинского группы D\nh [42] :
т?" + n2" + (и = 4*), (34.18)
'п"1Пг2+%",$?2 + Пг2п"2 ("i +"2 = п, I"х ~п2 1 = 4к),
(34.19)
т?Г' ?Г2 +?l V22 + S"1 п"2 +V2liil ( I "1 ""2 I = п, "1 +и2 = 4Л),
(34.20)
<'?2"2 +?2П'т?Гг + ?Г'т?2п' +т?^?Г2
(1и!+л2 If и, -и2 1 = 4&), (34.21)
'?Г,т?2"ЧГ3 + ?" "Si"2^3 +?Г,?22т?Г3 +т??,'7Г2^* . (34.22)
( I+И2 ~п3 \=П, I "j +Л3 ~П2 1=4/с), ,
n"1^2??3^"4 + f"1 5Г2Т72 ЗЭ?Г4 +?ГЧ2"2РГ3??2П4 +V?1Vi1%23?A
(34.23)
( I И, + И2 ~ "3 -и4 1 = и, I n 1 +п3 -п2 ""4 I = 4&).
Во всех этих выражениях и, - целые числа, удовлетворяющие указанным
условиям. Первое условие на числа щ обеспечивает инвариантность
соответствующего выражения относительно трансляций, а второе -
относительно поворотных элементов пространственной группы. Если полагать
некоторые числа щ равными нулю, можно получить из наиболее общего
инварианта (34.23) все предыдущие. Заметим, что при заданном п наи-низшую
степень имеют первые два ИД (34.18) и (34.19).
Легко получить также инварианты, включающие производные от параметров
порядка. Оставляя инварианты наинизших степеней, можем записать выражение
для термодинамического потенциала, описывающее магнитный фазовый переход
в MnAu2:
Ф -fdr {Г(Th?2 +172?,) + ^, [(T?l?2)2 +(T?2ll)2 ] + W2l7l?2l72?l +
, ./ 97?! Э^! Эп2 \ , /Эт71 эь Этj2 9?i \
V1 э7 эГ эГ аГ ] \гГ эГ+аГ эГ/
+ ". "+Ч? +й +Й) + 2 (чГ'Чг1 + "?•"?¦ +
{"1 "Л
^^¦?22 +т?2П1<3)}. (34.24)
Мы включили два ИД, причем в последнем суммирование ведется по
совокупности чисел {"i"2}> удовлетворяющих условиям: пг +п2 =п,
I "1 ~п2 I =4к. Роль этих членов проясняется, если перейти к новым
переменным с помощью соотношений
*?i =Pje'V.1. %2^Р\е~1{е2, f?2=P2e'v'1, ?i=p2er'^. (34.25)
-211.
Тогда из выражения (34.24) получаем в приближении dpi /Эг = 3р2 Ibz = О Ф
= Jdr {г (р\ + р\ ) + ui (fit + р\ ) + и2 р\р\ +
+ 2а (р\ dipi/Эг + pl'b^/bz) + у [ р\ (3<Pi/3z)2 + р\ (3ip2/3z)2 ] +
+ 2wx [ Pi cos л ipi + p2 cos и ipj ] + 2 2 vv"' "*[p"'p"*cos (ri\ipi +
Этот потенциал допускает возможность образования сложной магнитной
структуры одновременно с правой и левой спиралью. Первый ИД,
пропорциональный Wj, описывает, как мы знаем из анализа задачи с
двухкомпонентным параметром порядка, фазовый переход в соизмеримую фазу с
заданным л. В случае четырехкомпонентного параметра порядка появится
набор ИД, пропорциональных Wj"1"', которые отвечают за связь состояний со
спиралями различной закрученное(tm).
Для исследования вопроса о макрохарактеристиках возможных фаз изучим
законы преобразования следующих вещественных величин, являющихся
