Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
а Ху - характер представления Dv. Если nL =0, представление Dv не
допускает ИЛ.
Построим в качестве примера ИЛ для трехмерного НП т4 ск = 0 группы Тх.
Группа имеет 12 элементов hx-hx2 в нулевом блоке. Из таблиц Ковалева
находим характеры этих элементов:
Хфх)=3, х (/*2)=X(/*3) = X(M=-1, X(hs)= .., = x(h12) = 0.
Представление т4 векторное, поэтому из формулы (34.2) немедленно получаем
nL = 1. Для отыскания единственного ИЛ выпишем действие генераторов
группы h4nh9 на трехкомпонентный параметр порядка:
Ь4т\х=~г\х, й4 % =-i?2, Й4173 =1?з,
ft9Vi=V3, h9T}2=nX, Л9 77з=1?2.
207
Легко прорерить теперь инвариантность выражения
дт , Эт?3 drfc drji дПэ ,
rji --- T12- + V2 ------1?3 - + т?з - 1?! -- = Inv,
dz dz dx dx dy dу
представляющего собой ИЛ.
В общем случае ИЛ -строятся из антисимметризованных комбинаций следующего
вида:
VvAdn^ibxa-n^bnvAlbxa, " (34.3)
где i)v - параметр порядка, преобразующийся по НП Dv пространственной
группы G исходной фазы, a rf - по НП If . Законы преобразования таких
выражений получим, если запишем, как преобразуется параметр порядка и
градиент под действием элемента g группы G. Из выражений
(34-4)
sd/dx" = 2/?a(J3/dx,J (34.5)
(J
получаем
g (т?д Эт,*./дх") = 2 X D*AM(g)D'M.(g)Ra(l <d<, /dx". - (34.6)
MM p
Строить инварианты, опираясь на эту общую формулу преобразования,
неудобно, поскольку для этого требуются матрицы НП полной группы G, тогда
как желательно было бы работать только с труппой волнового вектора G^.
Точно так же , используя общую формулу (34.1), практически трудно решать
вопрос о существовании ИЛ для заданного НП в случае ненулевой звезды
волнового вектора. Нам необходимо теперь следить, как под действием
элементов g преобразуются лучи звезды, поэтому вместо записи т?д вернемся
к старым обозначениям параметра порядка с^. .
Выражение (34.3) из-за трансляционной симметрии должно иметь вид,
учитывающий закон сохранения волнового вектора:
с1хдс-кх<дха - с-кхКх/дха- (34.7)
Волновой вектор сохраняется в полиномиальных инвариантах с точностью до
вектора обратной решетки Ь. С учетом этого обстоятельства рассмотрим три
случая, которые могут встретиться при анализе выражений (34.7).
1. Волновые векторы к и -к эквивалентны:
к = -к+Ь. ¦¦ (34.8)
2. Волновые векторы к и -к не эквивалентны, но принадлежат одной звезде:
кФ-к + Ь, {*}={-*}'. < (34.9)
3. Волновые векторы к я -к принадлежат разным звездам:
{*} Ф {-*} . (34.10)
\
208
В каждом из этих случаев, различающихся взаимным отношением век-го ров к
и -к, можно перебрать различные ситуации, в которых вопрос о
существовании ИЛ может быть сравнительно просто решен. Ниже приводятся
результаты анализа, показывающего, как можно его решить, опираясь не на
пространственную группу G, а на группу волнового вектора Gk.
Случай 1:
а) dkv - одномерное комплексное НП группы Gk. ИЛ есть, если ограничение
векторного представления на группе Gk содержит единичное представление.
б) dkv - многомерное вещественное НП группы Gk. ИЛ есть, если
антисимметризованный квадрат dkv имеет общее представление с ограничением
векторного представления V на группе Gk.
в) dkv - многомерное комплексное НП группы Gk. ИЛ есть, если ан-
тисимметризованиый квадрат физически неприводимого представления *
dkv + dkv имеет общее представление с ограничением векторного
представления V на группе G*. . '
Случай 2:
а) dkv индуцирует вещественное НП пространственной группы G. ИЛ
к *к
возможен, если прямое произведение d х d имеет общее представление с
ограничением векторного представления V на группе Gk. Для определенного
решения вопроса необходимо исследовать действие элемента g, связывающего
лучи ки-к (gk = - к + Ь).
б) dkv индуцирует комплексное НП v пространственной группы G. Пусть НП
DWV индуцируется НП dkv (dkv й dkv , вообще говоря, могу.т и не
совпадать). ИЛ возможен, если прямое произведение (dkv +
к ' *л *к '
+ d ) х (crv + d ) имеет общее представление с ограничением векторного
представления V на группе Gk. Для получения определенного ответа
необходимо исследовать действие элемента g, связывающего лучи к и -к.
Случай 3: ч *
ИЛ есть, если прямое произведение dkv х dkv имеет общее представление с
ограничением векторного представления V на группе G*.
Если выясняется указанным способом, что ИЛ есть, их построение
проводится с помощью матриц D^v (g) представления полной пространственной
группы. Отметим, что в работе [39] содержится таблица инвариантов Лифшица
для некоторых НП ряда пространственных групп, которые часто обсуждаются в
литературе в связи с теорией фазовых переходов. В случае точечных групп
кристаллической-симметрии Инден-бом [40] перечислил все НП, допускающие
ИЛ. Этим решается вопрос об ИЛ для НП пространственных групп с к = 0.
Построение инвариантов Дзялошинского. В § 32 мы описали процедуру
построения инвариантов Дзялошинского (ИД), отвечающих соизмеримому
волновому вектору
к - (w/я) Ь. (34.11)
209
В случае двумерного НП пространственной группы G имеется всего два
