Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
не зависит от температуры. Из выражений (26.16) и (26.17) также следует
X - L ~ (Г0 - Т) (пм - р = 2). * (26.21)
Наконец, при пм - р>3 основной вклад в восприимчивость дает только третье
.слагаемое в (26.12) gi(v)> и снова имеет место выражение
(26.21).
Во всех вышеперечисленных ситуациях при анализе обобщенной
восприимчивости (26.12) можно ограничиться первыми слагаемыми в полиномах
gt (1?) и gj (v). И только в случае пм -р = \ возникает необходимость
учета высших степеней в gi (17).
Легко показать (см. также § 27), что, ограничиваясь моделью четвертой
степени в Фч, первым слагаемым в gi (т?) и отбрасывая g2 (т?), получаем,
что восприимчивость х при Т< Т0 в случае пм - р = 1 не зависит от
температуры. Следовательно, температурное поведение восприимчивости х в
этом случае определяется членами высших порядков.
168
Индексы катастрофы. Рассмотрим возможные значения индексов катастрофы р{.
В исходной фазе (Г>Г0)в силу того, что т?, = 0, имеет место ФХцЫ = 1^5и
для любого / Pi= 1, поэтому температурные особенности обобщенной
восприимчивости при Т -*¦ Т0 + 0 определяются только значением скрытого
индекса пм и не зависят от индексов катастрофы. Легко убедиться, что в
диссимметричной фазе Т<Т0 вблизи точки фазового перехода второго рода (Т-
*¦ Т0 - 0), в случае, когда фазовый переход описывается одномерным НП,
индекс катастрофы равен единице: р= 1. Таким образом, только в случае
фазовых переходов с многокомпонентным параметром порядка могут
реализоваться неединичные индексы катастрофы.
В качестве примера найдем индексы катастрофы для двухкомпонентного
параметра порядка т? = {i?i,i?2} , трансформационные свойства которого
отвечают потенциалу
Ф = г(т? \ +1?1) + и(т?? +1?|)2 - Згу2)2 +и2т?! (т?! - Зт?2)2.
(26.22)
Матрица Ф^м для решения типа r?i = т?, т?2 = 0 имеет вид
Фц = - 8(r + МТ?2), ФХ 2 (т?) = Ф2 I (т?) = 0, Ф22(т?)= 18(^2 -U,)!?4.
(26.23)
Параметр т) находится из уравнения состояния г + 2ит?2 + 3ux tj4 = 0,
откуда вблизи точки перехода получаем т?2 = -г/2и. Подставляя это
выражение в (26.23), находим, что
Ф11 (т?) ~ г, Ф22 (т?) ~ г2, (26.24)
т.е. индексы катастрофы ру = 1, р2 = 2.
Необходимо подчеркнуть, что значения для индексов катастрофы зависят от
выбора переменных. Действительно, пусть потенциал Ф имеет вид
Ф = г(ц\ +т?1)+ ",(!?? +т?|)2 +м2т??т?1. (26.25)
Матрица вторых производных для решения типа (т?, 0) диагональна:
Фц (т?) = 2г+ 12и,р2, Ф12 (т?) = Ф21 (т?) = 0, Ф22(т?) = 2и2т?2
(26.26)
и определяет индексы катастрофы ру =р2 = 1.
Введем теперь тригонометрические переменные т)у = rjcosi^ и т?2 =rjsin у,
в которых потенциал (26.25) принимает вид
Ф = гт?2 +"iTj4 +"2tj4cos4v>. (26.27)
Матрица вторых производных в этом случае имеет вид
фчч = 2 [г + 6"!i?2 + 6и2тг2 cos4i/>] , (26.28)
фч*> = ф*ч = ~ 16"2i?3sin 4i/), Ф^ = - 16"2t?4cos4 <р.
Типу решения (т?, 0) отвечают условия sin 4<^> = 0, cos4<^> = 1 и т?2 = -
- г /2 (и 1 + и2). Подставляя все это в (26.26), находим
Ф|1 *=-4г, Ф,2 =Ф21 =0, Ф22 =-4м2г2/(и, +и2)2, (26.29)
т.е. индексы катастрофы ру = 1, р2 = 2.
169
Анализируя различные примеры, можно убедиться, что для фазовых переходов
второго рода одно из собственных значений матрицы Фхи(т?) есть - 4г +
0(г). Айзу сформулировал этот факт в виде теоремы [10] и доказал ее для
общего вида потенциала Ф" в модели г?4.
Анализ НП точечных rpymj^[ll] показал, что максимальное значение индекса
катастрофы для точечных групп равно двум (ртях =2). Все одномерные НП
имеют индекс р = 1. Для двумерных НП, удовлетворяющих условию Ландау,
тригональных, гексагональных и кубических точечных групп индексы
катастрофы Pi =1, р2 =2. Двумерные НП тетрагональных групп имеют индексы
Pi =р2 = 1. Наконец, для трехмерных НП кубических групп, удовлетворяющих
условию Ландау, все индексы р,- равны единице (pt =р2 =р3 = 1).
Таким образом, анализ общего вида термодинамического потенциала показал,
что аномалии в температурной зависимости обобщенных восприимчивостей
определяются видом взаимодействия параметра порядка с обобщенными силами
(или обобщенными координатами). Температурное поведение восприимчивости
определяется скрытым индексом Пм и минимальным индексом катастрофы р.
§ 27. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОСПРИИМЧИВОСТЕЙ ДЛЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ВТОРОГО ГОДА
Собственные фазовые переходы. Измерение обобщенной восприимчивости х=
фх/дХ) в окрестности точки фазового перехода является одним из основных
источников информации о наличии перехода в данном соединении, роде
перехода, трансформационных свойствах параметра порядка и значении
коэффициентов в термодинамическом потенциале. Проиллюстрируем основные
приемы вычисления восприимчивостей на простых моделях потенциала Ф.
Вычислим восприимчивость в окрестности точки фазового перехода второго
рода. Возьмем потенциал простейшего вида:
Ф = л?2+т?4, (27.1)
где и > 0. При такой записи Ф наличие внешнего поля, как было отмечено в
§ 25, учитывается выписыванием уравнения состояния
X = ЭФ/Эт? = 2гт? + 4ит?3. (27.2)
