Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
7- + 2u2j?2>0. (18.10)
Подставив в (18.10) решение уравнения состояния (18.6),получим
г(2и, - м2)/(2и, + и2)>0. (18.11)
Из этого неравенства с учетом первого (18.7) и второго (18.9) условий
устойчивости вытекает, что г > 0. Однако это требование противоречит
требованию действительности решения уравнения состояния (18.6). Таким
образом, фаза 3 не имеет области устойчивости в модели tj4 .
Рассмотрим теперь фазу 1. Подставив вид решения r?i = т?2 = т?3 = т?,
отвечающий фазе 1 в (18.2), получаем уравнение состояния для параметра
т?: г + 2(М| + и2) т?2 = 0, из которого находим
т?2 =-7-/2(и, + и2). '18.12)
Первое условие устойчивости дает и2 > 0. Второе условие приводит, с
учетом Mi >0, к неравенствам
2mi+m2>0, 2mi-m2>0, (18.13)
тогда как третье условие устойчивости дает
(2м! -м2)2 (Mi +м2)>0 или (mi-m2)>0. ' '(1814)
127
Из условий действительности решения (18.12) следует г < 0. Таким образом,
область устойчивости фазы i определяется неравенствами
r<0, ut+u2>0, 2ut-u2>0. (18.15)
Перейдем теперь к фазе 2. Уравнение состояния для фазы 2 имеет вид г +
2и, т?2 =0, и значение Параметра порядка в ней
tj2=-r/2"i. (18.16)
Первое условие устойчивости дает и, > 0. Второе условие сводится к
неравенству
г(2м, -u2)/Ul >0, (18.17)'
которое с учетом действительности выражения (18.16) для г?2 дает два
неравенства. Окончательно
г< 0, 2м, - ы2 < 0, и, > 0. (18.18)
Третье условие устойчивости (положительная определенность определителя)
выполняется автоматически при выполнении неравенств (18.18). Таким
образом, область устойчивости фазы 2 определяется неравенствами (18.18).
Фазовая диаграмма в модели т?4. Области устойчивости фаз 1 и 2,
ограниченные соответственно неравенствами (18.15) и (18.18), представлены
на рис. 5.16. Диссимметричные фазы 1 и 2 граничат по плоскости и, =-м2/2.
Так же как в случае двухкомпонентного параметра порядка, в модели т?4
невозможно решить вопрос о фазовом переходе между ними. Действительно,
равенство потенциалов Ф(т?00) = Ф(т?т?т?) приводит к выражению
(г2/"i)[(2u, -и2)/(ы, +и2)] =0,
(18.19)
которое не дает связи между всеми тремя коэффициентами г, и, и и2. Из
условия равенства нулю потенциалов фаз 1 и 2 находим, что фазовые
переходы 0 •<-"• 1 и 0 * 2 являются фазовыми переходами
второго рода, а
линии этих переходов лежат в плоскости г - 0. Полная фазовая диаграмма в
модели rf представлена на рис. 5.16.
Учет инвариантов шестой степени, которые имеют вид
{п\ +vl +Пз), rivlvl, [i?i(t?2 +т?1) + П4(1?1 +!?з) + Пз(п! +Hi)L
так же как и в случае двухкомпонентного параметра порядка, приводит к
появлению на фазовой диаграмме линий фазовых переходов первого рода 0 <-
*¦ 1 и 0 2. При определенных значениях коэффициентов термодина-
мического потенциала между фазами 1 и 2 вклинивается фаза 3 (в модели
Рис. 5.16. Области устойчивости фаз 1 и 2 для потенциала (18.1) с
трехкомпонентным параметром порядка.
jj4 соответствующее решение существует.на плоскости иг = и2/2, но оно
неустойчиво). Подробный анализ потенциала с трехкомпонентным параметром
порядка, в котором учтены инварианты шестой степени, содержится в работе
[9]. Там приведены области устойчивости фаз 1, 2 и 3, а также значения
параметров порядка для каждой из фаз.
§ 19. РОЛЬ ЦРБИ В ПОСТРОЕНИИ ФАЗОВЫХ ДИАГРАММ
Использование понятия ЦРБИ позволяет по-новому взглянуть на методы
построения фазовых диаграмм. Перечислим основные преимущества, которые
может дать метод ЦРБИ в этой проблеме. Во-первых, нахождение ЦРБИ
позволяет сразу выписывать разложение термодинамического потенциала до
любой нужной нам степени. Во-вторых, знание ЦРБИ позволяет выделить среди
слагаемых данной степени в потенциале Ф те члены, учет которых должен
приводить к качественным изменениям на фазовой диаграмме. В-третьих,
существенную роль может сыграть использование ЦРБИ при исследовании
диссимметричных фаз с низкой симметрией. Как было показано в предыдущих
параграфах, такие фазы появляются на фазовых диаграммах только при учете
в потенциале инвариантов достаточно высоких степеней. Технические
трудности, возникающие при этом, естественно приводят к желанию узнать,
какой наинизшей степенью можно ограничиться, не потеряв нужной нам фазы.
Двухкомпонентный параметр порядка. Рассмотрим в качестве примера
применения ЦРБИ потенциал, исследованный нами в § 17. Этот потенциал, как
было показано в § 13, отвечает группе / = C3l), и ЦРБИ для нее составляют
два инварианта
Л =т?1 +т?!, h =Vi (19.1)
Полное полиномиальное разложение для потенциала можно представить в виде
Ф =г/, + ul2 +ul? + w/,/2 +z,/j + z2I% + ... ' (19.2)
Выпишем уравнения состояния, рассматривая Ф как сложную функцию от 7?! и
г? 2 через инварианты /( и /2:
ЭФ/Эц, =2Ф|г?1 +ЗФ^(т"; -т?2> = 0,
ЭФ/Эт?2 = 2т?2 К - ЗФгТ?, ] = 0, ( ' '
где производные по инвариантам от ряда для Ф
Ф; =ЭФ/Э/, = r + 2uxlx + wl2 + 3z1l],
(19.4)
Ф2 = ЭФ/Э/2 = v + wli +2z2Ii-
(Использование минимизации потенциала по инвариантам было впервые
