Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивости (17.44) состоит в том, что мы не можем выписать в явном виде
решение уравнения четвертой степени, поэтому в соответствии с
рекомендациями § 15 поступим следующим образом.
Найдем линии устойчивости фаз 1 ±. Для этого оставим в (17.44) только
знак равенства. Тогда после простых преобразований уравнение состояния и
первое условие устойчивости приводятся к виду
Явное выражение для линии устойчивости может быть найдено из требования
равенства нулю результанта системы (17.45). Предположив малость параметра
и .можно, однако, не раскрывать полностью весь результант, а
воспользоваться теорией возмущений [3]. В результате получаем связь между
параметрами г , v , и, w,... в виде разложения по степеням
членом.
r-2u%(2 + 5wt?3 - 9(zi + z2) J?4 =0,
± 3v + 8"t? ± 15 w T)2 + 24(zj + z2) j?3 = 0.
(17.45)
r = 9w2/32m + [5 w/2(8u)3] (3v)2,
(17.46)
которая и определяет границу устойчивости фаз 1 *. Второе неравенство
(17.44) дает систему уравнений
г + 2ит?2 ±wt?3 +3ztrj4 =0, ±v±wjj2 +2z2tj3 =0,
(17.47)
описывающих вторую границу устойчивости фаз 1 *. Аналогичным образом
запишем ее виде разложения по степе-
ням v :
г
r=2uv/w± Д(-и)3/2/и>5/2, (17.48)
где Д = 4hz2 - W2. Линии (17.46) и (17.48) изображены на рис. 5.14 штрих-
пунктиром. Из (17.48) видно, что при Д > 0 области существования фаз 1+ и
1 " не перекрываются, а при Д < 0 появляется область сосуществования фаз
1+ и 1".
гг
Рио.S.1S.Фазовая диаграмма в пространстве переменных (г,игл) для модели
ц' с кубическим членом.
125
Как было показано в работе [3], область существования фазы 2 (тип решения
(??,, т/2)) ограничивается линиями (17.48), поэтому фазовые переходы 1+
+> 2 и 1' +> 2 при Д > 0 будут фазовыми переходами второго рода. При Д <
0 фаза 2 не имеет области устойчивости. Фазовые переходы 0 ** 1+ и 0 * 1
", как и в модели т?4, будут фазовыми переходами первого рода. Линии
фазовых переходов первого рода также могут быть найдены при помощи теории
возмущений. Окончательно фазовая диаграмма представлена на рис. 5.15.
§ 18.ТРЕХКОМПОНЕНТНЫЙ ПАРАМЕТР ПОРЯДКА
Фазы и условия устойчивости. Анализ фазовых диаграмм с многокомпонентными
параметрами порядка завершим разбором фазового перехода, описывающегося
потенциалом
Ф = Г(п\ +Tfl + 1?з) + И,(т?1 +1?2 +1?з)+Ы2 0?11?! +Т?21?з). (18.1)
Этот потенциал можно рассматривать как непосредственное обобщение
потенциала (17Л), рассмотренного в предыдущем параграфе, на случай
трехкомпонентного параметра порядка. Универсальность потенциала этого
вида была ясна из § 14.
Как и в предыдущем примере с двухкомпонентным параметром порядка, анализ
уравнений состояния
Фч, =2т?1[г+2"1т??+м2(т?|+т?!)] =0,
Фть =2т?2[г + 2ц17?2 +ы2(т?1 +т?з)] =0,. (18.2)
Фт,, =2т?з[г + 2"1Т?| + м2(т?? +1?|)] =0
начнем с перечисления всех возможных типов различных решений. Очевидно,
что для данного потенциала возможны следующие решения, различающиеся
относительной величиной компонент т?,, i?2, Цз-
0) (ООО); 1) (ттпУ, 2) (j?00); 3)(т?т?0);
4)(t?i1?20); 5)(т?,т?, J?3); 6)(т?17?27?3). (18.3)
Рассмотрим сначала наиболее низкосимметричную фазу - фазу 6. Уравнения
состояния (18.2) для нее (предполагая, что все Ф 0) можно переписать в
форме
(2м, - ы2) (г?? - т?1) = 0, (2м, -м2)(т??-т?з) = 0,
'(2м, -м2)(п! -nl) = 0, (18.4)
откуда видно, что решение общего типа 0?,т?27?з) в модели т?4 существует
только в изолированной точке 2м, = м2, а во всей остальной области
параметров г, м,, м2 система уравнений (18.4) имеет решение (tjtjtj),
соответствующее фазе 1. Аналогично показывается, что в модели т?4 фаза 5
совпадает с фазой 1, фаза 4 с фазой 3.
Исследуем условия устойчивости фаз 1, 2 и 3. Анализ устойчивости сводится
к определению тех значений параметров г, м, и и2, для которых данный тип
решения уравнений состояний отвечает локальному минимуму потенциала
(18.1). Для этого, как было, отмечено в § 15, мы должны потребовать
положительной определенности всех главных миноров матри-
126
цы D, построенной из вторых производных д2Ф/дт?хЭт?м. В рассматриваемой
модели (18.1) эта матрица имеет вид
\
r + 6u,T]f +u2(nl +4?) 2и2г)1щ 2и, т),т?э
D = 2и,п,щ r + 6utul + и2(т?? +nl) 2и,т),г]з
ЗИаЛзПз 2u2 Па V3 г + 6u, т]| + U2(r}\ + "]?)
(18.5)
Сначала рассмотрим фазу 3. Подставим в (18.5) r?i = т?2 = i?, i?3 = 0 и
используем уравнение состояния (18.2) для фазы 3
г + (2"i + м2) ?72= 0. (18.6)
Первое условие устойчивости вытекает из требования положительной
определенности первого' главного минора матрицы (18.5), что с учетом
(18.6) дает4и!7?2 >0,или
и, > 0. (18.7)
Требование положительной определенности второго главного минора дает нам
второе условие устойчивости фазы 3:
4tj4(2mi -m2)(2"i + m2)>0, (18.8)
которое распадается на две системы неравенств
2"i-m2>0, 2и1+и1>0; 2и1-и2<0, 2и,+ы2<0; (18.9)
при этом вторая система неравенств с учетом ut >0 оказывается
несовместной.
Наконец, третье условие устойчивости сводится к требованию положительной
определенности определителя матрицы Д что приводит к неравенству
