Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
(17.31)
Ф", =2rTj! +v(3ri\ - Зт72) + 4мт?! (77? + 772) = 0, Ф"!, = 2т?2 [*¦ -
Зит? 1 + 2м0?1 + I?!)] = 0,
(17.32)
122
Следующее решение (0, г?), подставленное в (17.32), дает два уравнения
- Зит?2 = 0, 2л? + 4ыт?3 = О,
которые совместны только в точке и = 0.
Следующий тип решения (т?, j?) преобразует уравнения состояния к виду
/• + 4мт?2=0, г- Зит? + 2мт?2 = 0, (17.34)
откуда следует, что фаза 3 (а также и фаза 4) существует только на линии,
которая в параметрическом виде записана уравнениями (17.34).
В случае решения общего типа (т?, ,т?2) находим, что должно выполняться
равенство Зи (Зт?2 - т}2) =0, откуда следует, что Зт?2 = т?2 .Величина
т/j находится из уравнения
г- Зуг?1 +8м7?2 =0. (17.35)
Легко видно, что уравнение (17.35) заменой i?i = - т?/2 сводится к
уравнению (17.33), описывающему фазу (т?, 0). Решения (ту, 0), (n/jt?,
tj) , (- \Дт?,т?) приводят с точностью до замены переменных к одному
уравнению состояния для параметра tj. Низкосимметричные фазы, отвечающие
этим решениям, имеют одинаковую симметрию и отличаются друг от друга (как
показано в § 8) только способом вложения в исходную фазу. Такая ситуация
является общей для многокомпонентных параметров порядка и является
основанием для введения термина тип решения < tj, 0 >. Угловые скобки
означают, что существует несколько эквивалентных решений, а содержимое
скобок совпадает с одним из этих решений. Таким образом, в модели г?4
уравнения состояния описывают только фазу 1 *, поэтому ниже будем
рассматривать лишь одно решение (± tj, 0). Запишем решение уравнения
состояния (17.33) для фазы 1+ :
tj1j2 =- 3и/8" ± [(Зи/8к)2 -г/2м] й. (17.36)
Из условия положительности подкоренного выражения находим область
действительности решения:
г <9 V2 /32м2. (17.37)
Область устойчивости решения (17.36) находим стандартным методом. Она
определяется двумя неравенствами
utj< 0, 4r +3utj<0. (17.38)
Коэффициент и будем считать положительным (и > 0), ибо в противном случае
потенциал (17.31) при больших знЗчениях т? станет отрицательным. Первое
неравенство в (17.38) приводит к тому, что при и < 0 реализуются
положительные решения, т.е. фаза 1+ , а при и. > 0 - отрицательные
решения уравнения состояния (17.33), т.е. фаза 1". Второе неравенство в
(17.38) совпадает с-условием действительности (17.37). Области
устойчивости фаз 1 * на плоскости (г, и ) изображены на рис. 5.13.
"Исходная фаза 0 устойчива в верхней полуплоскости, область устойчивости
фаз 1 * располагается под параболой, нарисованной штрихпунктирной линией.
Вследствие того, что области устойчивости фаз 0 и 1 * перекрываются,
фазовый переход между ними должен быть первого рода.
123
13. Фазовая диаграмма на плоскости (г, v) для модели л4 с кубическим
членом. Сплошная линия - фазовый переход первого рода, штриховая > линия
- фазовый переход второго рода, штрихпунктир - граница устойчивости фаз.
Линии фазовых переходов 0 **¦ 11 находятся из равенства термодинамических
потенциалов фаз Ф(т?) = 0. Это приводит к уравнению
г ± vr\ +мт?2 = 0, (17.39)
которое должно решаться совместно с уравнением состояния (17.33). Таким
образом, получаем связь между г и v :
r = v2/4u, (17.40)
изображенную на рис. 5.13 сплошной линией. Скачок параметра порядка на
этой линии
т? = ±и/2". (17.41)
Подведем некоторые итоги исследования фазовых переходов в модели т?4. Из
проведенного анализа следует, что наличие кубического инварианта уже в
модели т?4 приводит к фазовому переходу первого рода. Следствием обрыва
ряда для потенциала на инвариантах четвертой степени явилось, как было
показано выше, отсутствие целого ряда устойчивых решений, описывающих
низкосимметричные фазы. В случае отсутствия кубических инвариантов
(потенциал (17.1)) фазовые переходы из исходной в дис-симметричные фазы
являются переходами второго рода. Для выяснения характера фазового
перехода между двумя диссимметричными фазами необходимо добавить в
потенциал члены более высокого порядка.
Кубические инварианты в модели т?6. Не останавливаясь подробно на
промежуточных расчетах, проследим, к чему приводит добавление инвариантов
пятой и шестой степени к потенциалу (17.31). Рассмотрим потенциал
Ф=г(т?? +т?!) + 1>(т?1 -3r?1r?l) + M(7?i +т?!)2 +
+ w(tj? + т?1 ) (i?? - 3i7!i7i) (17? + т?1)3 + z2(з?| - Зтнл?)2.
(17.42)
Анализ фазовой диаграммы начнем с фаз 11. Параметр порядка в этой фазе
удовлетворяет уравнению состояния
2r± 3vt) + 4ut)2 ± 5h't?3 + 6(z1 + z2)t?4 =0. (17.43)
Найдем неравенства, определяющие область устойчивости этой фазы. Матрица
Л, составленная из вторых производных от потенциала Ф по переменным tji и
tj2, после подстановки решения Vi ~ *4. V% ~ 0 принимает диагональный
вид. Условия устойчивости сводятся к двум неравенствам
± 3u + 8"tj ± 15 wq2 + 24(z, +z2) г? > О,
± v ± wt)2 + 2zjt?3 < 0. (17.44)
124
Р и с. 5.14. Фазовые диаграммы на плоскости (г, и) для модели rf с
кубическим
Основная сложность анализа уравнений состояния (17.43) и условий
