Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Одной из основных целей настоящего параграфа является выяснение вопроса о
том, как меняется вид фазовой диаграммы при последовательном добавлении в
потенциал членов высоких степеней. Случай, когда потенциал содержит
только два первых члена разложения (модель г?4), подробно исследовался в
§ 1. Модель г?4 описывает фазовый переход второго рода, который
происходит по линии фазовых переходов г = 0. Параметр порядка в
низкосимметричной фазе определяется выражением
Л2 = - г/2и, (16.2)
откуда следует температурная зависимость л> характерная для фазового
перехода второго рода (рис. 1.2).
Модель т?6. Следующая модель содержит шестую степень в разложении Ф по л:
Ф =гл2 +мл4 +УЛ6. (16.3)
Для того чтобы потенциал (16.3) был положительным при больших значениях !
л 1> необходимо выполнение неравенства v > 0; коэффициент м может быть в
этом случае любого знака. Уравнение состояния
ЭФ/Эл = 2л[г + 2мл2 + Зил4] = 0 (16-4)
имеет решения
Л2 =-м/Зи + (м/Зи) (1 - Зги/м2)1/2, (16.5)
Л22 = - м/Зи - (м/Зи) (1 - Зги/м2 )'/2. (16.6)
Условие устойчивости Э2 Ф/Эл2 > 0 для этих решений можно записать с
учетом уравнения состояния (16.4) в виде
r + urf <0. (16.7)
Необходимо также учесть условия действительности решетгй (16.5) и
(16.6), одно из которых
1 -Зги/и2 >0, (16<8)
а другие формулируются отдельно для каждого из решений л i и л2:
м>0, г<0 или м<0, г> 0 и м<0. (16.9)
109
Совместное использование условий устойчивости (16.7) и вещественности
(16.8) и (16.9) приводит к неравенствам
и> О, г<0, (16.10)
определяющим область существования решения г)\, и к неравенствам
определяющим область решения j?2:
и< 0, r<u2/3v. (16.11)
Области устойчивости действительных решений rj2 и г}\ изображены на рис.
5.1. Область устойчивости исходной фазы г? = 0 определяется неравенством
г > 0.
Для окончательного построения фазовой диаграммы найдем линии фазовых
переходов. Из условия Ф (г?) = 0 (равенства энергий в фазах С1?#=0и1? =
0)с учетом уравнения состояния получаем уравнение
¦ц2 (2г + ит]2) = 0. (16.12)
Решение этого уравнения г?2 = 0 определяет линию фазовых переходов
второго рода г = 0. Как следует из вида решений (16.5) и (16.6), условию
rj2 = 0 удовлетворяет только одно решение, а именно т?2. Оно и описывает
изменение параметра порядка при фазовом переходе второго рода.
Этот же вывод можно было бы сделать непосредственно из анализа условий
устойчивости решения т?2. Как видно из рис. 5.1, а, области устойчивости
исходной фазы г? = 0 и низкосимметричной фазы т?2 не перекрываются, а
имеют общую границу, которая и есть линия фазовых переходов второго рода.
Из уравнения (16.12) следует также другое уравнение
2г + иг)2 = 0. (16.13)
Оно определяет линию фазового перехода первого рода в фазу, описываемую
решением г? 2 (рис. 5.1, б). Эту линию получим, подставляя в (16.13)
выражение (16.6) для т?|:
r = u2/4v. (16.14)
Скачок параметра порядка на линии фазового перехода (16.14)
г) = - 2г/и = - 2r/4v. (16.15)
В окончательном виде фазовая диаграмма для потенциала (16.3) приведена на
рис. 5.2. Оказывается, таким образом, что модель rj6 приводит к
расширению области существования диссимметричных фаз на плоскости (г, и).
При отрицательных и появляется новая фаза, переход в которую из
симметричной фазы является переходом первого рода. При всех положительных
и фазовый переход остается переходом второго рода, как и в модели г?4.
Модель г?8. Посмотрим, к чему приводит учет следующей, восьмой степени в
разложении потенциала Ф. Эта задача является примером практического
использования метода Гуфана построения фазовых диаграмм. Из требований
положительности потенциала для больших значений параметра порядка j?
следует, что w > 0, где w - коэффициент при инварианте восьмой степени.
При этом условии коэффициент v может иметь произвольный знак. Вначале мы
рассмотрим случай v < 0.
110
г
г
ч-о-
7,
7'0=
6)
Рис. 5.1 .Области устойчивости исходной фазы rj = 0 и решений и для
модели г)6 ¦ Штрихпунктир - границы областей устойчивости фаз.
Рис. 5.2.Фазовая диаграмма для модели гf при однокомпонентном параметре
порядка. Сплошная линия - фазовый переход первого рода, штриховая линия -
фазовый переход второго рода.
Уравнение состояния в этой модели
2tj (г + 2ur]2 + 3utj4 + 4^7?(r)) = 0 (16.16)
является кубическим для величины т?2. Следуя стандартной процедуре
построения фазовых диаграмм, мы могли бы выписать решения этого уравнения
в общем виде, чтобы затем использовать их при анализе условий
устойчивости фаз и равенства энергии фаз. Однако технически такая
процедура оказывается очень сложной, поэтому, как предложено в § 15
[3]/построение фазовой диаграммы начнем с анализа числа корней уравнения
состояния в пространстве коэффициентов r,u,vnw.
На рис. 5.3 изображено распределение корней уравнения (16.16) в плоскости
переменных г и и для случая v < 0 в соответствии с правилом Декарта.
Запись (2, 0)+1" означает, что в соответствующей области параметров гни
