Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
разделяющая эти фазы, и есть граница фазовых переходов второго рода. Если
же имеет место область сосуществования двух или более фаз, то в этой
области должна проходить граница фазовых переходов первого рода, которая
определяется из условий равенства энергий этих фаз. Задача нахождения
''линий" фазового перехода первого рода решается аналогично задаче
нахождения линий устойчивости. При этом многочлен/(х) определяется из
равенства потенциалов соседних фаз.
Необходимо отметить, что при анализе фаз, описываемых не одной
компонентой многокомпонентного параметра порядка, число уравнений
состояния^ равно числу отличных от нуля компонент параметра порядка. В
этом случае линии устойчивости и линии фазовых переходов находятся путем
последовательного вычисления необходимого числа результантов.
При нахождении линий устойчивости и линий фазовых переходов необходимо
учитывать, что условия равенства нулю главных миноров и равенства энергий
фаз выполняются для всех решений уравнений состояния, в том числе
отвечающих максимуму потенциала, а также мнимым значениям параметра
порядка. Поэтому для выявления нефизических решений целесообразно
проводить анализ распределения корней уравнений состояния в пространстве
коэффициентов термодинамического потенциала, что позволяет выделить
области существования действительных решений.
Задача о распределении корней уравнений состояния решается при помощи
правила Декарта [4).
107
1. Число положительных корней многочлена / (х) с действительными
коэффициентами либо равно числу перемен знака в ряду коэффициентов f (х),
либо на четное число меньше.
2. Число отрицательных корней равно числу перемен знака в ряду
коэффициентов многочлена f (-х) либо на четное число меньше.
Дополнительная информация о распределении корней уравнений состояния
может быть получена из анализа дискриминанта исследуемого многочлена [4].
Дискриминант D (/) многочлена/(х) = а0х" + ах хп ~ 1 + . . . + + ап _ j х
+ а" связан с результантом многочлена fix) и его производной f' (х) по
формуле
R (/,/') = (-1Г{n-l)l2a0 D{f). (15.8)
Если /(х) -многочлен с действительными коэффициентами и не имеет кратных
корней, тоZ) (/) > 0 в случае, когда число пар комплексно-сопряженных
корней/(х) четно. D (/)< 0 в случае нечетного числа пар комплексно-
сопряженных корней.
В следующих параграфах этой главы будет показано, каким образом могут
использоваться эти понятия в практическом анализе фазовых диаграмм [3].
Несмотря на прогресс, достигаемый благодаря использованию
вышеперечисленных теорем алгебры многочленов, задача построения фазовой
диаграммы в случае перехода по многокомпонентному параметру порядка и при
учете инвариантов шестой и выше степени в разложении термодинамического
потенциала (15.1) содержит значительные технические трудности. Одной из
таких трудностей является необходимость вычисления буквенных
определителей (результантов) высоких порядков. Значительные трудности
представляет собой также анализ выражений для линий фазовых переходов и
линий устойчивости, получаемых при раскрытии таких результантов. Большое
число феноменологических переменных (коэффициентов в термодинамическом
потенциале), которое резко возрастает с увеличением степени учитываемых в
потенциале инвариантов и в случаях многокомпонентных параметров порядка,
приводит к существенному увеличению различных вариантов фазовых диаграмм.
Каждый вариант отвечает определенному сечению многомерного пространства
коэффициентов потенциала, в котором строится фазовая диаграмма, т.е.
характеризуется некоторым соотношением этих коэффициентов.
Следует отметить, что перечисленные выше трудности могут быть преодолены
при помощи использования ЭВМ. Вопросы машинной обработки многочленов
высоких степеней рассмотрены в монографии [3], в которой все вопросы
алгебры многочленов рассматриваются на основе введенного автором понятия
иннора. Машинная обработка результантов используется также в работах [5,
6].
§ 16. ОДНОКОМПОНЕНГНЫЙ ПАРАМЕТР ПОРЯДКА
Форма термодинамического потенциала. Построение фазовых диаграмм начнем с
простейшего случая одиокомпонентного параметра порядка, предполагая, что
термодинамический потенциал содержит только четные степени разложения:
Ф * г"?1 + ит}4 + И6 + wy* + ... (16.1)
106
Подробный анализ такого потенциала представляет интерес, поскольку
имеется немало фазовых переходов, идущих по одномерному представлению.
Кроме того, полученные для такого потенциала результаты могут быть
использованы при анализе сложных потенциалов с многокомпонентными
параметрами порядка. Действительно, среди всевозможных типов решений,
например в задаче с трехкомпонентным параметром порядка {Vi V* V3 } >
возникают решения типа (л 0 0), (л л 0), (л л л) , характеризующиеся
одной величиной л- Анализ уравнений состояния, линий устойчивости и линий
фазовых переходов для этих типов решений может быть сведен к задаче
(16.1) с точностью до переобозначений коэффициентов.
