Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
или цереводящих ее в эквивалентную. Характерным признаком лифшицевских
точек является то, что запись соответствующего вектора к через векторы
Ь2, Ь2, Ь3 содержит численно фиксированные ко-
47
ординаты, тогда как для непифшицевских точек - некоторые текущие
параметры. Помимо симметричных точек, в зоне Бриллюэна принято выделять
симметричные линии и плоскости. Симметричные точки изображены на рис.
3.2-3.5 для решеток Ггй, Гс, Г" и if.
Полный список лифшицевских точек для всех зон Бриллюэна приведен в табл.
3.1. В первой ее колонке указан символ этих точек по [1], вторая колонка
дает символ звезды волнового вектора, соответствующей этой точке, по
Ковалеву [3]. В третьей колонке приводятся координаты точки в репере
ячейки Браве обратной решетки (в единицах 2я/а): Четвертая колонка дает
запись лучей звезды через основные векторы обратной решетки, а в
последней колонке указываются элементы-представители, действуя которыми
на первый луч можно получить все другие лучи этой звезды.
Теперь мы можем непосредственно приступить к анализу изменения
трансляционной симметрии кристалла при фазовом переходе по лифши-цевским
звездам. Впервые эта задача была решена в известной работе Лиф-шица [4] •
Ниже мы даем такой метод подхода к этой проблеме, который позволяет
получить изменение решеток и при магнитном фазовом переходе [5].
Лучевое смешивание и канал перехода. При анализе трансляционных свойств
фазы, возникающей в результате перехода по НП Dkv пространственной группы
исходного кристалла, достаточно рассмотреть разложение
Рис. 3.3.Зона Бриллюэна для простой ку-
бической решетки Гс; Г = (ООО), X = (0Й0), М =
R= (ЙЙЙ).
(ШО),
г
X ку
Рис. 3.4.3она Бриллюэна для ГЦК решетки Г^; г = (ООО), W = (lQVi),
l = елш),х= (ою).
Рис. 3.3
Рис. 3.5.Зона Бриллюэна для ОЦК решетки г"; Г. = (ООО), Я = (010),
Р= №hxk),N= (ШО).
l kz _
Рис. 3.4
Р и с. 3.5
48
функции гототноста диссимметричной фазы в виде
p(t") = 2 exp(ikLtn)pL (0), L
(7.1)
где суммирование по L ведется по всем лучам Л,, к2, ¦ ¦¦ звезды {Л}. Это
соотношение связывает плотность в я-й ячейке кристалла с плотностью 2 pL
(0) в нулевой ячейке, от которой я-я ячейка отстоит на вектор транс-
ляции tn исходной фазы. Оно может быть получено из общего разложения
плотности (1.19) в предположении, что фазовый переход происходит по одной
звезде, а также с учетом того факта, что базисные функции НП для лучей kL
звезды содержат фактор ехр (ikptn).
Величину pL (0) следует назвать лучевым вкладом в функцию плотности. Она
содержит информацию о распределении плотности в нулевой ячейке, но детали
этого распределения, а также симметрия pL (0) при выяснении вопроса о
трансляционных свойствах диссимметричной фазы оказываются
несущественными. Однако тип решетки, как важная характеристика
трансляционных свойств этой фазы, существенным образом зависит только от
того факта, какие из лучевых вкладов pL (0) отличны от нуля. Совокупность
векторов kL всей звезды, для которых лучевые вклады отличны от нуля,
назовем каналом перехода [6]. В зависимости от того, какие лучи участвуют
в канале, получается та или иная решетка, характеризующаяся системой
трансляций tp. Векторы tD определяются из условия инвариантности функций
плотности p(t") относительно всех трансляций новой фазы.
Использование выражения (7.1) приводит к уравнениям
которые следует записать только для лучей ki, входящих в канал перехода.
Решения этих уравнений, вообще говоря, будут различными для разных
вариантов лучевого смешивания, что и показывает необходимость введения
понятия канала перехода.
Практически удобно не решать систему уравнений (7.2), а испытывать (при
заданном канале перехода) различные трансляции tn исходной решетки и
отбирать те, которые удовлетворяют этим уравнениям. По небольшому числу
отобранных таким образом векторов tn легко установить векторы кратчайших
трансляций tD и определить тип новой решетки. Такую работу следует
выполнить для всех каналов перехода по лифшицевским звездам, поскольку
только для лифшицевских звезд удается получить решетку новой фазы,
соизмеримую с исходной. В случае нелифшицевских звезд факторы exp (/ kp
tn) зависят от непрерывного параметра (или нескольких параметров),
определяющеговеличинуволнового вектора одной и той же симметрии, так что
новая фаза, вообще говоря, не соответствует какой-либо пространственной
группе. И только при некоторых ''случайных" значениях текущего параметра
возникает соизмеримая периодичность новой фазы.
Переходы по нелифшицевским звездам будут описаны в гл. 8, а здесь мы
проиллюстрируем роль канала перехода на примере фазовых переходов из ОЦК
решетки по шестилучевой- лифшицевской звезде {к 9}
L
exp (ikL tD) = 1,
(7.2)
49
g Таблица 3.1
j_ Список лифшицевских точек для всех зон Бриллюэна
Обозначения: 1 - симметричная точка, 2 - номер звезды, 3 - координаты
луча At, в репере В{, 4 - лучи звезды, S - представители
1 2 3 - • 4 S
Решет каГ"; ft, = 5,, ft3 = Я2, ft3 =B3
