Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
1(140'А), 2(Й'40), 3(0'/2!4), 4(3,0 Vi), 5(!4 340), 6(01Л %). (4.13)
Эти шесть точек образуют одну кристаллографическую позицию
пространственной группы. Они изображены на рис. 2.3 вместе с другими
эквивалентными позициями.
Волновой вектор сверхструктуры принадлежит 6-лучевой звезде {Аг9}, и
группа волнового вектора имеет, очевидно, 48/6 = 8 элементов в нулевом
блоке. Из таблиц [1] находим, что они строятся из следующих точечных
элементов симметрии:
Gk йк;, h2 h2%, йд 7, Й40 }, (4.14)
которые образуют элементы пространственной группы. Последние оказываются
без сопровождающих трансляций. ' 2
Составим таблицу перестановок первого атома (междоузлия) под действием
группы G^ согласно общему соотношению (3.3). Например, для
30
2 • /
Ч*- 1 U1 •
/
Рис. 2.2.Соотношение элементарных ячеек решеток исходной и упорядоченной
фаз кристалла Nb-H. Штриховая прямая - центрирующий вектор в r.f-ячейке.
Рис. 2.3.Тетраэдрические позиции в кристалле Nb *Н, занимаемые атомами
водорода.
элемента {/;4 ! О} имеем
.1 О-O' 'Л . {k4 Ю>1 = ( 0 1 0 ![0 ]
0 0 11]'/2.''
Л (Т)
0+01 = 4 + в4, (Л4),
У2 '0
гд ej41(/i4) = (1 00) -вектор возвращающей трансляции (мь! записали
его для экономии места в виде строки). Действие всех элементов группы G*
сведено в табл. 2.1. Наряду с возвращающими трансляциями там приведены
факторы jjj (g), вычисленные по формуле (3.21). Обратим внимание на то,
что под действием элементов О* атомы 1, 2, 4 и 5 преобразуются друг в
друга, а оставшиеся атомы 3 и 6 преобразуются независимо. Таким образом,
шестикратная позиция разбивается на две орбиты относительно группы Gk -
четырехкратную и двукратную. Каждую орбиту теперь нужно рассматривать
отдельно. Для первой орбиты стабилизатор Я, атома 1 состоит из двух
элементов, а для второй - стабилизатор Я3 атома 3 включает четыре
элемента:
Я, = {^28). Яз={Л,М1зЛ,б}. (4.15)
Для вычисления базисных функций перестановочного представления необходимо
иметь табл. 2.2 НП группы Gк [1]. Расчет по формуле (4.7) приводит к
следующим результатам для орбит 1 и 2:
I) п Т| = "т-> = ПТг'
>) пт
= 1, пт
= 1, пт' = ит? = ит= = пт' = 0; = пт4 = пт' = пт" = 0.
Таким образом,имеем следующий состав перестановочного представления Д1Я
орбит 1 и 2:
к
1><*Р= Т\ + ТА +Т6 +7V, 2)d*=rs+r6.
(4.16)
Вычислим теперь матрицу'pf1'по формуле (4.9). Поскольку для одномерных
представлений характер совпадает с самим представлением, имеем, сравнивая
(4,9) и (4.7): \pfv=nkv< так что для представлений,
31
Таблица 2.1
Перестановки атомов под'действием элементов группы 0% в Nb-Н
g h, ht3 Л,е
gl 1 4 2 - 5
Орбита 1 (S) 000 TOO Уг Уг Уг Уг Уг Уг
7,1 (g) 1 -1 -1 - 1
g3 3 3 3 3
Орбита 2 e,-3<?) 000 010 Уг Уг Уг Уг Уг Уг
7/3 U) 1 -1 -1 1
А 28 А" | А,.
4 1 5 1 2
Орбита 1 101 001 Уг Уг Уг Уг Уг '/2
-1 1 -1 -1
6 6 6 6
Орбита 2 011 001 Уг Уг Уг Уг Уг Уг
-1 1 1 -1
Таблица .2.2
Неприводимые представления группы волнового вектора к - (2 л/а) (Уг Уг 0)
пространственной группы О%
'У >4 - ^28 И,- ^40
т, т, гз Т4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1
г, т" т, тк 1 1 1 1 1 1 _1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' -1 -1 1
Таблица 2.3
Базисные функции перестановочного представления для кристаллов Nb-Н и Та-
Н
-1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
32
Рис. 2.4.Проекция кристаллической структуры неупорядоченной (а) и
упорядоченной (б) фаз сплава внедрения Та-Н на плоскость (001) (&2И по [
11 ]).
содержащихся ъ d$,
ф{р = 1. (4.17)
Компоненты базисных функций на других атомах орбиты находим по формуле
(4.8). Например, для представления т, для атома 2, принадлежащего первой
орбите, имеем согласно табл. 2.1 и 2.2:
- V/fV'h )=721(Л,з)^г'(й,з)^Т, = - 1 - 1 * 1 =- 1.
Результаты вычислений для всех НП приведены в табл. 2.3. В ней даются
значения ''атомных" компонент базисной функции на междоузлиях примитивной
ячейки исходного кристалла. В соседних ячейках ''атомные" компоненты
отличаются фактором ехр(/Лг"), который равен -1 для трансляций а (16 '/г
'Л),а(± 1 0 0) и т.д. Эти данные позволяют изобразить геометрически
состояние упорядоченного кристалла, описываемого базисными функциями
отдельных неприводимых представлений. При таком изображении следут иметь
в виду, что в неупорядоченной фазе при Т >ТС все междоузлия эквивалентны,
и вероятность их заполнения определяется концентрацией с атомов водорода
в кристалле (отношение общего числа атомов водорода к числу междоузлий).
При Т<ТС эти вероятности изменяются и их распределение характеризуется
базисной функцией. Таким образом, значение ''атомной" компоненты, равное
1, можно трактовать как увеличение вероятности заполнения данного
междоузлия атомами водорода, а значение, равное -1, означает ее
уменьшение. Абсолютная величина изменения вероятности характеризуется
температурно зависящим параметром т), который и является
парамет^юмпорядка. Упорядочение, описываемое НП т5 звезды {к9},
характеризуется вероятностями заполнения междоузлий 3 и б, равными с + т)
или с - г). Соответствующее расположение атомов водорода по этим
