Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
которой состояние каждого атома описывается скалярной функцией. Тензорное
представление группы волнового вектора G* на скалярном базисе, которое
задается в общем случае матрицами (3.7), вырождается в скалярное
представление с матрицами
{dp(g)}ij = ехР l-ikaif(g)]&i.gf- (4Л)
Это представление, однако, принято называть перестановочным (отсюда
символ cik(g)), поскольку действие элемента группы G на атом сводится
исключительно к перестановке его на место другого атома в кристалле.
Запишем для скалярного базиса основные формулы предыдущего параграфа,
позволяющие провести приведение перестановочного представления. Вместо
выражений (3.8), (3.11) и (3.13) в данном случае будем иметь
cik = 'Lnlpdkv, (4.2)
V
nv = \\G?\\-li:xk(g)xk4g), g?G%, (4.3)
g
Xp(g) = 2 exp[;7w/y(?)]5/tW-. (4.4)
/
Формула (3.19) для вычисления базисных функций-ЯП на луче к в этом случае
сведется к следующей:
ф(*" Ю = 24[м|^)ехР[-'Л"1/(я)]5/.Я[/1g^Gk- ¦ (4-5)
28
формула (3.32У для базисной функции на произвольном луче kL (к/ = - gL*)
звезды {Л}принимает вид
|'') = exp(-ikf ai'l(gLM^ | ')• _ (4.6)
Перестановочное представление с/* задается, таким образом, матрицами
размерности а X а, где а - число атомов данной орбиты (в примитивной
ячейке кристалла). Заметим также, что атомная компонента базисной функции
не имеет никаких других индексов, кроме индекса Л.
Приведем формулы для расчета пУ и | i j по методу стабилизатора. Вместо
(3.24), (3.27) и (3.28) в скалярном случае имеем
nvp = \\Hl\\-^xk4hbxAh), ьен°к, (4.7)
ь
7/, (*))<?*''(*,O'Pf1'. (4-8)
Ф*" = 2:3*''(А)71|(А), Лея*0. (4.9)
и
Ниже мы проиллюстрируем оба метода вычисления базисных функций -
стандартный и метод стабилизатора - на ряде конкретных примеров. Целью
рассмотрения этих примеров является не только иллюстрация самих методов,
но также описание техники выявления неприводимого представления,
ответственного за фазовый переход.
Параметр порядка при упорядочении в сплавах типа АВ. Начнем с анализа
широко известного и простейшего фазового перехода типа упорядочения в
эквиатомных двухкомпонентных сплавах типа АВ (AuCu , CoPt, FePd и т.п.).
Они образуют ГЦК структуру, причем в неупорядоченном состоянии (Г > Тс)
каждый узел решетки заполняется равновероятно атомами А или В. При Т< Тс
вероятности заполнения определенных узлов разными атомами становятся
различными, так что возникает некоторая сверхструктура, характеризующаяся
волновым вектором. При 7'-*0 некоторые узлы решетки заняты атомами только
одного сорта, так что возникает полностью упорядоченная структура,
показанная на рис. 2.1.
Нетрудно убедиться, что эта упорядоченная структура описывается волновым
вектором
к = (2п/аХ001). ' (4.Ю)
Действительно, если начало координат поместить на место атома 1, то век-
iff* /-
торы трансляции в атомы 1,1 и 1 будут соответственно равны а (0Йй),в
(1А0'А) и а (й!40); фактор ехр(-i kt) окажется равным единице для атома
1"' и -1 для атомов 1 и 1 ", что и соответствует различной раскраске
атомов на рис.2.1.
Структура реального упорядочен-
Рис. 2.1. Статистическая решетка в неупорядоченном (а) и упорядоченном
(б) состоянии Т > Т-0
сплава типа AuCu. а) 5)
29
но го сплава, таким образом, полностью может быть охарактеризована
соотношением
Vn=r]exp{iktn), (4.11)
где tn * вектор трансляции из начального атома в и-й, а г? - параметр,
характеризующий состояние на данном (начальном) узле решетки:
Ч = 1^А -^В I/^a+^b). (4.12)
где Р д и Р в - вероятности заполнения узла атомами сорта А и В , которые
зависят от температуры таким образом, что при Т > Тс г\ = 0. Параметр г?
и является параметром порядка при описанном фазовом переходе.
Этот элементарный фазовый переход в кристалле с одной решеткой Браве не
требует специального теоретико-группового анализа.
Параметр порядка при упорядочении в гидридах Nb-Н и Та-Н. Другим типом
фазового перехода, описываемого скалярным параметром порядка, является
упорядочение в фазах внедрения. В качестве примера рассмотрим гидриды
(дейтериды) Nb - H(D) и Та-H(D), в которых при некоторой температуре
возникает упорядоченное распределение водорода по тетраэдрическим
междоузлиям с образованием сверхструктуры. Элементарная ячейка
упорядоченного кристалла оказывается больше элементарной ячейки исходного
кристалла, поэтому фазовый переход характеризуется отличным от нуля
волновым вектором.
Исходная решетка металла - ОЦК, а соответствующая ей обратная решетка -
ГЦК. Нейтронографические исследования [9] обнаружили в упорядоченной фазе
сверхструктурный рефлекс типа (Vi /2 0), который соответствует появлению
новой решетки, описываемой волновым вектором к = (2п/а) (У2У2О).
Сверхструктурная решетка и ее элементарная ячейка изображены на рис. 2.2,
Проведем теоретико-групповой анализ упорядочения атомов водорода в этом
кристалле и выявим НП, по которому происходит фазовый переход. Водород
располагается в междоузлиях, координаты которых в примитивной ячейке
исходного металла, имеющего группу симметрии Of, , равны
