Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
что 5/,да = 5*,i ,"/i =bi.gflgg, 1 • 0тсюда ясно' что элементh = gj'sgj"
оставляющий первый атом на месте, должен принадлежать стабилизатору Я*.
Таким образом, суммирование в (3.23) ведется фактически не по всем
элементам группы. G^, а лишь по элементам стабилизатора. Учитывая первое
из соотношений (3.22), имеем
л- = HGjtir1 7, t(A), h еЩ.
i h ¦
Сумма пс / дает число атомов в орбите, которое совпадает с индексом
подгруппы Нк, равным ||С* || /\\Нк II . Просуммировав в последнем
выражении по трансляциям группы Нк, запишем окончательное выражение для
nv в виде
и*' = ||Я*1Г'2:х*''(А)7,,(А)хл(А), h?H°k. (3.24)
h
Перейдем теперь к выражению (3.19) для базисной функции НП. Перепишем
его, возвращаясь к суммированию по всем элементам,? группы G*, и возьмем
в качестве старта первый атом (/ = 1):
=ЛГ' (3.25)
(мы ввели также обозначения (3.21) для фазового фактора). 5-символ
представим в виде 8j gl = 5( g. t g г, откуда видно, что элемент h = gjlg
принадлежит стабилизатору. Таким образом, как и в выражении для п1',
формула для базисной функции содержит фактически суммирование по
элементам стабилизатора первого атома. Действительно, убирая в (3.25) 5-
символ и используя второе из выражений (3.22), будем иметь (g GgjHk)
10=.лг1 s3*|' (?)т/1 (gib,, (gflgmm(g).
g
i
Полученное выражение можно переписать (просуммировав еще по трансляциям
группы Нк) в виде (h €Е Нк)
*"(*"10 m(ftAhn(A). (3.26)
h
В принципе полученное выражение уже решает поставленную задачу о
вычислении атрмных компонент базисной функции через стабилизатор. Однако
из (3.26) можно получить еще более удобную формулу, если перейти к
матричной записи. Правая часть в выражении (3.26) включает
прямое произведение матриц dKv (g,h) X DR (gjh ). Если каждую из них 26
записать в виде произведения матриц от отдельных элементов группы С! к
dkv(gjh) = dkv(gi)dkv(h)4 DR(gjh) = DR{gi )DR(h), то выражение (3.26)
можно записать в виде
Ч'?" =Та (g№kv(gi)XDR(gi))*kv, (3.27)
где (h G )
Ф*v = Udkv(h) X DR(h))yl ,(й) (3.28)
it
- матрица размера /"Л X /"/?. Ее следует вычислить заранее; тогда, для
того чтобы получить базисные функции на /-м атоме орбиты, достаточно
умножить матрицу 'I',*1' слева на матрицу dkv X DR той же размерности,
соответствующую элементу g/. Каждый ненулевой столбец вычисленной таким
образом матрицы дает атомную компоненту базисной функции, преобразующуюся
по НП dkv. Всего должно получиться пи таких столбцов в соответствии с
числом вхождения данного представления в состав тензорного представления.
Такий образом, вычисление базисных функций для всех атомов орбиты
сводится к перемножению матриц, а вычисление матрицы 'I'?1' предполагает
суммирование только по элементам стабилизатора.
Преимущество формул (3.27), (3.28) для базисной функции по сравнению со
стандартным выражением (3.19) состоит в том, что эти формулы дают
возможность работать только с элементами стабилизатора Hg и эле-ментами-
представителями в разложении группы Gg по НПри этих вычислениях нет
необходимости выполнять трудоемкую работу по составлению таблицы
переходов атомов под действием всех элементов группы Gg и нахождению
возвращающих трансляций в,у (g). Особенно большие преимущества метод
стабилизатора имеет в тех случаях, когда число атомов в орбите велико, а
число элементов в стабилизаторе соответственно мало. В этом случае
матрица 'Ef1' легко вычисляется по формуле (3.28) и вычисление атомных
компонент базисных функций сводится к простому перемножению матриц по
формуле (3.27).
Построение базисных функций для лучей звезды. Выше построены базисные
функции для НП группы волнового вектора. НП всей пространственной группы
реализуются на базисе, включающем базисные функции для всех лучей к/
звезды {к}. Для каждого луча можно, конечно, независимым образом
построить свой базис, пользуясь теми же выведенными формулами. Однако
есть простой способ выражения базисных функций для любого луча звезды
через базисные функции одного первого луча кх.
Для вывЪда подобной связи этих функций вспомним соотношение (2.5),
выражающее луч звезды kL через луч Аа: kR= g /*,. Соответственно этому
группа волнового вектора Gg { сопряжена с группой Gg^ элементом g / :
GkL=g[Gk,^L . ' (3.29)
27
Аналогичной будет и связь между их представлениями, а следовательно, и
между их базисными функциями:
dk^(g) = dk^(gLggli), (3.30)
' (3.3!)
Учитывая тогда факт, что под действием элемента gL волновой вектор ме^
няется согласно (2.5), а атом меняет свой номер и ячейку согласно (3.4),
можем получить следующее соотношение для атомных компонент базисных
функций НП d*L v:
*a(kf\i) =txd-*Lai4(gL)}ZDg(gLW*-(k^\i). - (3.32)
Здесь соответствие между номерами атомов i и /\ а также вектор
определяются равенством
g[/i = hi/i + *hL= ri' + ai'i(SL )¦ (3.33)
§ 4. ПЕРЕСТАНОВОЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ЕГО БАЗИС
Сводка формул. Вначале мы детальнее исследуем фазовые переходы,
характеризующиеся возникновением фазы с заданным волновым вектором к, в
