Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
где д (g) -матричный элемент неприводимого представления dkv, а ф -
некоторая стартовая функция. В качестве таковой возьмем орт ^
пространства R о^А-мерных векторов, а действие на него оператора Т (g)
определим по соотношению (3.6). Тогда выражение (3.14) принимает вид
g ia
Суммирование по целым трансляциям можно выполнить, используя явный вид
(3.7) матриц dR(g). Это приводит к выражению, включающему суммирование
лишь по элементам нулевого блока группы Gк (g G ) :
ф** = Sd^(g)IeKp[-ikaiy(g)]8u/D^(g)^a. (3.16)
g ia
Учитывая явную структуру (3.1) выражения для вектора-столбца , представим
и базисную функцию ф^ в той же форме:,
' 4/kv = rrekvexp(iktn), (3.17)
. П
где е обозначает aR -мерный вектор-столбец
?Ам = ?вф(^|1-) (*= 1.2, 0Л), (3.18)
i
составленный из Д-компонентных столбцов. Каждая компонента этого столбца
определяется, очевидно, выражением (g )
фа ) = 2 dk^l(g)expi-ikai/(g)]8i gyp^^ig). (3.19)
g
Величина фа ^ |/ j представляет атомную компоненту базисной функ-
ции. Индексы д.,/ и (3, заключенные в квадратные скобки в выражении
(3.19), должны фиксироваться. Эти индексы определяют фактически некоторый
старт для построения базисной функции. Изменение старта приводит либо к
новой системе базисных функций (для тех случаев, когда данное НП dkv
содержится не один раз в составе тензорного представления dR), либо к
нулю. Если в кристалле атомы занимают несколько позиций кратных точек, то
в формулу (3.19) необходимо подставить в качестве индекса / номер одного
из атомов данной позиции, чтобы получить набор функций
^ г )111:151 всев позиции, а затем таким же способом получить функции для
атомов другой позиции. Для практического вычисления выражений
(3.19) и (3.13) необходимо предварительно составить таблицу смены номеров
атомов примитивной ячейки кристалла йод действием элементов' группы Gk и
найти векторы возвращающих трансляций ац для каждого атома. Необходимые
матрицы НП берутся из таблиц (например, [1]).
24
Метод стабилизатора. Соотношения (3.19) и (3.13) являются основными
рабочими формулами, по которым вычисляются базисные функции, описывающие
фазовый переход в кристалле. Фактически для-заданного волнового вектора к
и НП dkv группы Gk необходимо по формуле (3.19) вычислять атомные
компоненты * ) Для атомов нулевой элементарной
ячейки, принадлежащих одной позиции кратных точек. Следует при этом иметь
в виду, что позиция кратных точек пространственной группы G исходного
кристалла по отношению к группе волнового вектора может расщепиться на
отдельные совокупности атомов, преобразующихся друг в друга (с точностью
до целых трансляций решетки). Каждую такую совокупность атомов назовем
орбитой относительно группы Gk\ Вычисление атомных компонент базисной
функции для каждой орбиты
должно производиться, очевидно, независимо. Для этого необходимо в
качестве старта выбрать некоторый атом / из данной орбиты.
В формулах (3.19) и (3.13) суммирование производится по элементам группы
Gк. Эти формулы, однако, могут быть преобразованы к виду, когда
суммирование производится лишь по части элементов из G^, а именно по тем,
которые оставляют стартовый атом неподвижным. Они образуют так называемый
стабилизатор группы Gк. Более строго и общо, стабилизатором
пространственной группы G называется ее подгруппа Н, переводящая данный
атом сам в себя (с точностью до целых трансляций). Преобразуя основные
формулы (3.13) и (3.19) так, чтобы они содержали только суммирование по
элементам стабилизатора, мы получаем существенный выигрыш в
вычислительной работе.
Итак, рассмотрим некоторую орбиту относительно группы Gк "'припишем
стартовому атому номер / = 1. Обозначим стабилизатор первого атома Нк и
разложим группу Gк в смежные классы по подгруппе Нк:
Gk = ZgiHk. (3.20)
i
Элемент-представитель gj, очевидно, переводит первый атом в атом номера /
(при этомg 1 является единичным элементом группы).
Преобразуем сначала фазовый фактор, входящий в выражения (3.11) и
(3.19). Вспоминая'соотношение (3.3), служащее определением вектора
возвращающей трансляции ajj (<?), перепишем указанный фактор в виде
У,/(g) = ехр( ikajj(g)] = exp[ ik(gr/ - г,-)]. (3.21)
Теперь учтем, что координаты любого атома из данной орбиты могут быть
выражены через координаты первого атома действием элементов-
представителей: г/ = gj г i - ajx (gj ), г / = gj г, - ап (gj). Используя
эти выражения и умножая каждый вектор в скалярном произведении в (3.21)
на?(.-1, получим для величины у,у (g) два важных выражения:
7j/(g) = 7i ltgf'ggj), 7li(g) = 7]i(g/'g)7n(g,), (3.22)
где мы учли, что gj~lk - и поскольку элемент gj1 принадлежит группе
волнового вектора Gk.
Теперь рассмотрим выражение (3.9), определяющее состав тензорного
представления. Подставим в него выражение (3.10) для характера x^ig)
этого представления. Используя обозначение (3.21) для фазового факто-
25
ра, запишем (? e G*)
п* = ||G*|| -1 ^(Е)хк{в)Щ{м)Ьш (3.23)
g i
5-символ можно переписать, опять используя соотношение j = gj 1, так
