Ионика твердого тела. Том 1 - Иванов-Шиц А.К.
ISBN 5-288-02746-3
Скачать (прямая ссылка):
электропроводности микрообъема гетерогенной системы (т+е, гомогенной
части системы с постоянными коэффициентами), Е - напряженность
электрического поля, знак < > обозначает операцию усреднения. Уравнение
(2) означает, что наша реальная гетерогенная система заменена
"эффективной средой" с эффективной макроскопической электропроводностью.
Аналитическое решение уравнения (2) для произвольной пространственной
структуры гетерогенной системы часто является непростой задачей [12],
поэтому обычно рассматриваются более простые модели, которые тем не менее
адекватно описывают реальную физическую задачу [13-16].
Если в матрице концентрация диспергированных частиц сферической формы
невелика, то проводимость описывается хорошо известным уравнением
Максвелла-Вагнера [14-16]:
где <т, и т% = V/V - проводимость и объемная концентрация включений i-го
сорта; V, - объем включений; V - полный объем материала; <г0-
проводимость основной матрицы*
При больших содержаниях посторонних фаз можно использовать следующие
соотношения (для двухфазной системы [12]):
2.4, Модели "эффективной среды"
j = о*<Е> =<аЕ>.
(2)
(3)
2ot + о2 1,65 3(а^ - Oi) ц>/з
o2-CFt it 4^+302
и
76
<ь
G = G. -*
2tT| +°2 -f 2jh2 -1,27 02 + 208 -т\п6,399-^
O'? - CTi
"10/3
4gj + 3g2
JO/3
- Gl
4at + 3g2
4(Г| + 3g2
Случай структур с изолирующими включениями разной формы рассматривался
многими авторами [13, 17, 18]* При наличии замкнутых включений в виде
кубов одного размера для эффективной проводимости а* было получено
a
1 - (I --Ljeij (l - ni| J
Zs________________________
(4a)
4n
G = G
L + fi-аЪ
2 I 1
(46)
CF " О,
1 1-ffb
(4b)
где <Tj - проводимость матрицы; g2 - проводимость включений.
Рассмотрение включений в форме эллипсоидов вращения приводит к следующим
выражениям для эффективной проводимости [12]:
CF -Оп
= yV_ML " да,+П-
и согласно [13]
по* + (1 - п)а0 j да, + 0 - п)о0
__ Oi +[(l-m2)"L +Mj]((T2 -СГ;)
G (I) = G]---------------------------1
crj+O-mjJ/^crj-eF,)
(5a)
(56)
oi+ta-^K+^K^-^i)
G (3) = G1--------------------* rcn\
*1+0-/и2)"з(а2 - CF]) 1 J
где n - тензор деполяризации; пг - его главные компоненты,
Компоненты тензора п в главных осях эллипсоида вращения с полуосями а, Ь7
с при а = Ь < с имеют вид
1 (1-4>г" (1 + Л), ...
п{ = ги =---------, щ =------7^-{[In-------Ч-2А)
1 п 2(1-и3) 4 24 (1-4)
В частном случае сферических включений Л] = я2 = Лз = 1/3, и формула (5)
переходит в уравнение (3)*
77
Если включения можно представить в виде цилиндрических волокон (так
называемая волокнистая структура) с с = со и я = 6, то л, = м2 = 1/2 и ~
О Поэтому электропроводность вдоль (<*jj) и
перпендикулярно оси цилиндров (а*±) будет
<т*н = т2ог + (1 (6а)
Or
g,+<T2-ffl2(<T1-q2) Oj+t^ + wi^Oj-aj)
(66)
В случае макроскопически изотропной среды, содержащей хаотически
ориентированные эллипсоидальные включения (с равновероятным
распределением), получаем
/г? 2
a2 _ai
У-
3(l-m2) , 1 + (^2/ai "О",
(7)
Приведем выражения для двухфазной системы, одна из компонент которой
является изолятором (а2-*0), например поры в материале [19] или
непроводящие включения (разного типа) в матрице
I - т-
1 1 + 0,5т2
1-
т*
3(1 -т2)
Oj {1-тг)
1 - т2 1 1 + т2
для сфер,
для хаотически ориентированньк эллипсоидов,
для цилиндрических включений с осью, параллельной электрическому полю,
для цилиндрических включений с осью, перпендикулярной электрическому полю
Для образца, состоящего из сферических частиц (1-го типа) и трубок
(частицы 2-го типа), проводимость описывается кубическим уравнением [20]
о*э9с + а2(9са2 + 5oi + 10-8o2-9cot)-CF*f2o22 + 4<т,о2 + 9cGiCT2)^i^22 =
9,
где с - mj/m2
Если объемное содержание отдельных компонент системы примерно одинаково,
то связности их структурных составляющих различаются мало В таких
системах фазы геометрически равноправны, и гетерогенные системы
называются статистическими смесями
Рис III2 3 Простейшая регулярная скелетная структура мод ели с
взаимопроникающим и компонентами 1 2 - различные фазы
Прн исследовании структур с взаимопроникающими компонентами также было
рассмотрено множество моделей, отвечающих различной геометрии отдельных
фаз Как было показано Дульневым
[11], эффективная проводимость простейшей двухфазной скелетной структуры
из брусьев (рис III 2 3) описывается выражением
78
a =<j^ + o2(I-^r +
cr2+{1 - j4)cTi
где - коэффициент, характеризующий геометрию структуры и
связанный с концентрацией
второй компоненты соотношением щ = 2А*-ЪА2 + 1.
В [17] было получено прямое выражение зависимости проводимости от
концентрации для двухфазной изотропной системы (когда элементы фаз имеют
примерно одинаковые размеры и объемы):
a*= [(2-3wi)o2 + <2~3ffli)qi] , )сг2 + (2-Зт2)0|]2 ,
4 V 16 2
гдет12-объемные концентрации фаз с проводимостью осоответственно.
В случае статистической двухфазной системы с волокнистой структурой
получаем [13] следующие соотношения:
¦ = (2tfi) ~ l)g, + (2т 2 - l)a2 [ jt(2wi-Qg]+ (2иг-l)g2I
